Головна

 Найкраще наближення в гільбертовому просторі |  Метод найменших квадратів |  Алгебраїчна проблема власних значень |  Стійкість власних значень і векторів |  метод інтерполяції |  трехдіагональной матриці |  Пошук власних векторів |  метод лінеаризації |  Метод зворотних ітерацій |  Звичайно-різницева апроксимація |

Формула прямокутників

  1.  А) за формулами Крамера, б) методом зворотної матриці, в) методом Гаусса, г) за допомогою пакета прикладних математичних програм MathCAD (Excel).
  2.  Асимптотична формула Пуассона. 1 сторінка
  3.  Асимптотична формула Пуассона. 2 сторінка
  4.  Асимптотична формула Пуассона. 3 сторінка
  5.  Асимптотична формула Пуассона. 4 сторінка
  6.  Асимптотична формула Пуассона. 5 сторінка
  7.  Асимптотична формула Пуассона. 6 сторінка

Розглянемо найпростіший випадок, коли в розкладанні (7.2) утримується лише один доданок, що містить функцію. В цьому випадку ваговий коефіцієнт

,

і на відрізку інтеграл замінюється виразом

. (7.5)

Геометрично це означає заміну інтеграла на зазначеному відрізку площею прямокутника з основою h і висотою, що дорівнює значенню функції в середині підстави прямокутника (рис. 7.1).

  xk-1 xk-1/2 xk x

Мал. 7.1. Схема чисельного інтегрування методом прямокутників

Скористаємося для представлення функції f (x) поблизу точки формулою Тейлора

.

Визначимо похибка обчислення інтеграла на відрізку:

.

Отриманий вираз дозволяє оцінити похибку:

(7.6)

Тут позначено:.

Формула (7.6) встановлює, що в умовах обмежених другої похідної на даному відрізку похибка формули прямокутників має третій порядок. Для всього відрізка інтегрування [a, b] отримуємо

, (7.7)

де.

Іншими словами, для всього інтервалу [a, b] похибка розглянутого способу інтегрування має другий порядок.

Аналогічним способом можна перевірити також часто застосовується на практиці формулу інтегрування

,

геометричний сенс якої пояснений на малюнку 7.2.

Оцінка похибки інтегрування на відрізку, виконана аналогічно попередньому випадку, призводить до результату

,

.

  xk-1 xk x

Мал. 7.2. Схема чисельного інтегрування методом прямокутників

Для всього інтервалу [a, b] похибка інтегрування складає

.

На рис. 7.3 наведені графіки, що відображають збіжність процесу наближеного обчислення певного інтеграла за допомогою формул методу прямокутників з центральною точкою (формула (7.5)), "лівої" точкою (рис. 7.2) і "правої" точкою.

Мал. 7.3. Значення інтеграла, обчислені точно (---) і за формулами методу прямокутників з центральної (- o -), "лівої" (- D -) і "правої" (- a -) точками на сітках Wn



 Застосування інтерполяційних формул |  Формула трапецій
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати