Головна

Звичайно-різницева апроксимація

  1.  Аналітична апроксимація і універсальний метод визначення розрахункових гідрометеорологічних характеристик
  2.  Апроксимація гіперболічної функцією
  3.  Апроксимація інтегралів за обсягом
  4.  Апроксимація інтегралів по поверхнях
  5.  Апроксимація кривих розгону методом площ.
  6.  апроксимація поліномом
  7.  Апроксимація прямими, параболами

Нехай на відрізку [a, b] введена сітка з кроком,

.

У довільній точці цієї сітки наближене значення похідної деякої функції u (x) можна представити кількома способами:

;

;

.

u (xi + 1) U (xi) U (xi-1) xi-h xi xi+ h

Мал. 6.1. Схема чисельного диференціювання

Цілком очевидно, що ці формули по-різному, тобто з різним ступенем точності, представляють значення похідної в даній точці.

Для оцінки одержуваних похибок скористаємося розкладаннями розглянутої функції в ряди Тейлора поблизу заданої точки xi :

,

.

Оцінимо похибка подання величиною першої похідної, тобто відхилення дійсного значення похідної від її наближеного значення:

Отриманий результат свідчить про те, що похибка апроксимації першої похідної виразом визначається величиною, пропорційною кроку h сітки за умови обмеженості другої похідної і малості самого кроку h. У цьому випадку говорять, що має місце перший порядок апроксимації.

Оцінимо похибку апроксимації величиною першої похідної:

Видно, що в цьому випадку також має місце перший порядок апроксимації.

Аналогічно поступимо для оцінки похибки формули:

В останньому випадку отримали вже другий порядок апроксимації. Це означає, що з трьох виразів для апроксимації похідної останній варіант забезпечує найменшу похибку.

Цілком очевидно, що в будь-якому з розглянутих випадків наближення похідної її різницевим аналогом тим точніше, чим менше крок h обраної сітки. Разом з тим слід мати на увазі, що зменшення кроку h призводить до зростання похибки обчислень.

Справді, нехай замість точних значень і внаслідок помилок округлення отримані значення і. апроксимація похідної

обчислюється також з помилкою. При відомих оцінках повну похибку можна також оцінити

.

Очевидно, слід вимагати, щоб похибка округлення не перевищувала похибки апроксимації при записі разностного аналога:

,

де - чебишовських оцінка другої похідної заданої функції на відрізку [a, b].

Звідси випливає

.

 Метод зворотних ітерацій |  Застосування інтерполяційних формул


 Побудова кубічного сплайна |  Збіжність процесу інтерполяції кубічними сплайнами |  Найкраще наближення в гільбертовому просторі |  Метод найменших квадратів |  Алгебраїчна проблема власних значень |  Стійкість власних значень і векторів |  метод інтерполяції |  трехдіагональной матриці |  Пошук власних векторів |  метод лінеаризації |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати