Головна |
Звичайно-різницева апроксимаціяНехай на відрізку [a, b] введена сітка з кроком, . У довільній точці цієї сітки наближене значення похідної деякої функції u (x) можна представити кількома способами: ; ; .
Мал. 6.1. Схема чисельного диференціювання Цілком очевидно, що ці формули по-різному, тобто з різним ступенем точності, представляють значення похідної в даній точці. Для оцінки одержуваних похибок скористаємося розкладаннями розглянутої функції в ряди Тейлора поблизу заданої точки xi : , . Оцінимо похибка подання величиною першої похідної, тобто відхилення дійсного значення похідної від її наближеного значення: Отриманий результат свідчить про те, що похибка апроксимації першої похідної виразом визначається величиною, пропорційною кроку h сітки за умови обмеженості другої похідної і малості самого кроку h. У цьому випадку говорять, що має місце перший порядок апроксимації. Оцінимо похибку апроксимації величиною першої похідної: Видно, що в цьому випадку також має місце перший порядок апроксимації. Аналогічно поступимо для оцінки похибки формули: В останньому випадку отримали вже другий порядок апроксимації. Це означає, що з трьох виразів для апроксимації похідної останній варіант забезпечує найменшу похибку. Цілком очевидно, що в будь-якому з розглянутих випадків наближення похідної її різницевим аналогом тим точніше, чим менше крок h обраної сітки. Разом з тим слід мати на увазі, що зменшення кроку h призводить до зростання похибки обчислень. Справді, нехай замість точних значень і внаслідок помилок округлення отримані значення і. апроксимація похідної обчислюється також з помилкою. При відомих оцінках повну похибку можна також оцінити . Очевидно, слід вимагати, щоб похибка округлення не перевищувала похибки апроксимації при записі разностного аналога: , де - чебишовських оцінка другої похідної заданої функції на відрізку [a, b]. Звідси випливає . Метод зворотних ітерацій | Застосування інтерполяційних формул Побудова кубічного сплайна | Збіжність процесу інтерполяції кубічними сплайнами | Найкраще наближення в гільбертовому просторі | Метод найменших квадратів | Алгебраїчна проблема власних значень | Стійкість власних значень і векторів | метод інтерполяції | трехдіагональной матриці | Пошук власних векторів | метод лінеаризації | |