Головна

 Визначення числа операцій алгоритму методу Гауса |  Обчислення визначника матриці |  Побудова зворотної матриці |  Метод квадратного кореня |  Визначення числа операцій алгоритму методу квадратного кореня |  Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь |  Доведення |  Доведення |  Ітераційні методи рішення |  Збіжність ітераційних методів |

Ітераційний метод з чебишёвскім набором параметрів

  1.  I метод
  2.  I. ЗАГАЛЬНІ Методичні вказівки
  3.  I. Методичний інструментарій оцінки рівня ліквідності інвестицій забезпечує здійснення такої оцінки в абсолютних і відносних показниках.
  4.  I. Організаційно-методичний розділ
  5.  I. Статистичні методи побудови динамічних об'єктів технологічних процесів.
  6.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів
  7.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів

Нехай розглядається система лінійних алгебраїчних рівнянь Ax = f із симетричною позитивно певної матрицею А. Рішення будемо шукати за допомогою явного нестаціонарного методу Річардсона,

Спробуємо так визначити набір  , щоб  була мінімальною для заданого числа ітерацій N.

Теорема 2.6. Нехай А - симетрична позитивно певна матриця,  - Найменше та найбільше власні значення. Нехай задано число ітерацій N. Серед всіх наборів  , Найменшу похибку  має набір, для якого

Оцінка похибки в цьому випадку має вигляд:

.

Доведення. Введемо, як і раніше, похибка рішення  . Схема Річардсона дозволяє записати систему рівнянь щодо похибок:

.

Звідси отримуємо

.

Зокрема,

,

. . .

.

позначимо

.

Зрозуміло, що  - Симетрична матриця. Тепер похибка на N ітерації можна представити виразом

.

Для симетричною позитивно певної матриці в якості норми може бути обраний спектральний радіус  . Справді, для власного вектора m, відповідного власного значення ,

,

.

З урахуванням властивостей норми отримуємо

 (2.19)

З іншого боку, нехай  - Ортонормированном система векторів, побудована на основі власних векторів матриці ,

.

Розкладемо вектор m по цьому базису:

.

Відповідно до визначення норми вектора

У компонентної записи вектор  з використанням власних чисел і векторів виглядає наступним чином:

.

Тут використано визначення власних значень і векторів:

.

Враховуючи що

,

можна підрахувати норму оператора

.

Порівнюючи остання нерівність з виразом (2.19), визначаємо точне значення норми:

.

З огляду на це можна оцінити величину похибки:

.

Побудова доведення теореми 2.6 засноване на пошуку такого набору  , Який мінімізує спектральний радіус n матриці .

Припустимо, що всі власні значення матриці А впорядковані:

.

Відомо [7], що якщо f (A) - матрична функція матричного аргументу А, то  - Повна система власних значень матриці f (A).

оскільки

є якраз матричної функцією матричного аргументу, то відповідна скалярная функція

визначає власні значення матриці  . У цьому випадку її спектральний радіус може бути визначений як

.

позначимо

 . (2.20)

Тоді спектральний радіус можна визначити наступним чином:

і визначення набору  зводиться до задачі пошуку

.

Очевидно, що функція (2.20) є поліномом ступеня N, причому f (0) = 1. Інакше кажучи, пошук ітераційних параметрів  зводиться до задачі про відшукання полінома ступеня N, найменш ухиляється від нуля на відрізку  , Яка може бути вирішена з використанням полінома Чебишева.

Коріння функції (2.20) приймають значення:

і повинні збігатися з корінням полінома Чебишева:

.

Тепер очевидно, що ітераційні параметри слід вибирати таким чином:

.

Позначення відповідають введеним при формулюванні теореми.

Для оцінки норми похибки зауважимо, що

,

звідки отримуємо .

Що й потрібно було довести.



 швидкість збіжності |  Неявний метод з чебишёвскім набором параметрів
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати