Головна

швидкість збіжності

  1.  Абсолютно збіжні інтеграли другого роду. Теореми про збіжність.
  2.  Абсолютно збіжні інтеграли першого роду. Теореми про збіжність.
  3.  Абсолютні величини в теорії відносності. Швидкість світла, інтервал і власний час
  4.  Б) в присутності каталізатора швидкість реакції зростає в 127 разів.
  5.  У СС ви рекомендуєте швидкість виконання руху 2-1-2. Ця швидкість не повинна змінюватися?
  6.  Взаємозв'язок між навантаженням і швидкістю м'язового скорочення.
  7.  Вплив каталізаторів на швидкість реакції

Раніше стверджувалося, що якщо ітераційний метод в деякому сенсі сходиться, то він сходиться до вирішення вихідної задачі (2.1). Зрозуміло, що швидкість досягнення результату істотно залежить від того, наскільки вдало ("близько" до вирішення) вибрано початкове наближення. У загальному випадку умови збіжності ітераційного методу розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь визначаються наступною теоремою, доказ якої можна знайти, наприклад, в книзі [1].

Теорема 2.5. ітераційний метод

сходиться при будь-якому початковому наближенні тоді і тільки тоді, коли всі власні значення матриці  по модулю менше одиниці.

При практичному використанні ітераційних методів важливий не тільки сам факт збіжності послідовності одержуваних рішень, але і швидкість, з якою ця послідовність сходиться до точного результату. Якщо для похибки використовуваного методу має місце оцінка виду

,

то кажуть, що ітераційний метод сходиться зі швидкістю геометричної прогресії зі знаменником q. Ця оцінка показує, у скільки разів зменшується початкова похибка після проведення певної кількості ітерацій.

Задамо довільне число k> 0 і вимагатимемо, щоб після виконання N ітерацій початкова похибка зменшилася не менше, ніж в k раз, тобто  . Це має місце в разі  , Звідки отримуємо

.

Ціла частина цього дробу буде мінімальним числом ітерацій, необхідне для досягнення заданої точності. вираз  називається швидкістю збіжності итерационного методу. Ця швидкість цілком визначається властивостями матриці переходу  і не залежить від номера ітерації, вибору початкового наближення і задається точності. Чим вище швидкість збіжності, тим вища продуктивність обраного методу розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

поліноми Чебишева[13]

Для подальшого розгляду визначимо, згідно [8], норму

,

звану чебишёвской.

Розглянемо задачу: серед усіх поліномів ступеня N зі старшим коефіцієнтом, рівним 1, знайти такий многочлен  , Для якого величина  мінімальна. Такий многочлен зветься полінома Чебишева.

розглянемо функцію

 . (2.15)

Зробимо тригонометричні перетворення:

Складаючи почленно два останніх рівності,

отримуємо рекурентне співвідношення для побудови функції  . Відповідно до формули (2.15)

І далі, відповідно до отриманої залежністю

На рис. 2.4 показані деякі поліноми побудованої системи.

Мал. 2.4. поліноми TN(X) при N = 2, 3, 4, 5, 6

Можна помітити, що в загальному випадку коефіцієнт при старшій ступеня визначається наступним чином:

 (2.16)

визначимо функцію  у вигляді

 . (2.17)

Очевидно, що  є поліномом ступеня N зі старшим коефіцієнтом, рівним 1.

Визначимо корені цього полінома:

оскільки  є поліномом ступеня N, він має не більше N коренів, причому всі вони різні і лежать на відрізку [-1, 1]:

.

Таблиця 2.4

коріння полінома  для N = 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7

 N = 1  N = 2  N = 3  N = 4  N = 5  N = 6  N = 7
 0,707106781  0,866025404  0,923879533  0,951056516  0,965925826  0,974927912
-  -0,70710678  0,382683432  0,587785252  0,707106781  0,781831482
- -  -0,866025404  -0,382683432  0,258819045  0,433883739
- - -  -0,923879533  -0,587785252  -0,258819045
- - - -  -0,951056516  -0,707106781  -0,433883739
- - - - -  -0,965925826  -0,781831482
- - - - - -  -0,974927912

Цілком очевидно (рис. 2.4), що поліноми  приймають екстремальні значення в тих точках, де функція cos () приймає значення +1 або -1.

У цих точках поліном  приймає чергуються за знаком значення  ; при цьому чебишёвская норма дорівнює .

Лемма 2.2. Нехай існує система точок  така, що  , Причому в зазначених точках функція  має чергуються знаки. Тоді серед усіх поліномів ступеня N зі старшим коефіцієнтом, рівним 1, многочлен  найменш ухиляється від 0.

Доведення. Нехай існує поліном  ступеня N зі старшим коефіцієнтом 1 (рис. 2.5), причому

,

тобто .

побудуємо функцію  , Відмінну від нуля і є поліномом ступеня (N-1).

Мал. 2.5. Графіки поліномів Q5(X), S5(X) і їх різниці

У точках екстремумів  маємо

.

тоді  і в силу припущення функція R (x) на відрізку [-1, 1] змінює знак N раз, а значить має N коренів, чого не може бути, оскільки R (x) є поліномом ступеня (N-1).

Таким чином, твердження леми 2.2 доведено.

Оскільки побудований раніше поліном Чебишева  задовольняє всім вимогам леми, він є найменш ухиляється від нуля на відрізку [-1, 1].

У разі необхідності відшукання полінома, що найменш ухиляється від нуля на довільному відрізку [a, b], слід перейти до нової змінної

,

яка тепер приймає значення .

У цьому випадку функція PN(X) приймає вид:

.

Формула (2.16) представляється у вигляді:

Тепер можна отримати поліном зі старшим коефіцієнтом 1, тобто поліном Чебишева для відрізка [a, b]:

 . (2.18)

Коріння цього многочлена визначаються аналогічно розглянутому вище випадку:

Очевидно, що в цьому випадку .

Може розглядатися ще одне завдання: знайти многочлен ступеня N, найменш ухиляються від нуля на відрізку [a, b] серед многочленів, що задовольняють умові .

Перенорміруем поліном (2.18) так, щоб ,

,

де .

Коріння цього многочлена розташовані в точках

.

Введемо позначення:

;

Розглянемо співвідношення:

;

 - Непарна функція;

 - Парна функція;

 - Непарна функція;

 - Парна функція;

...

покладемо  , тоді

,

.

вводячи позначення  , Уявімо певний вище коефіцієнт у вигляді

.

Тепер очевидно, що побудований поліном приймає екстремальні значення, рівні

.

 Збіжність ітераційних методів |  Ітераційний метод з чебишёвскім набором параметрів


 метод Гаусса |  Визначення числа операцій алгоритму методу Гауса |  Обчислення визначника матриці |  Побудова зворотної матриці |  Метод квадратного кореня |  Визначення числа операцій алгоритму методу квадратного кореня |  Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь |  Доведення |  Доведення |  Ітераційні методи рішення |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати