Головна |
Граничний перехід у нерівностяхТеорема 1. Нехай - Сходиться послідовність і . тоді . Доказ цієї теореми проведемо методом від противного. позначимо . Тоді твердження, протилежне доказуваному, має вигляд: . візьмемо . Тоді, за визначенням, границі послідовності, можна написати . Остання нерівність розпишемо у вигляді подвійного Але так як , то і виходить що , Що суперечить умові теореми. Слідство. якщо и сходяться послідовності і , то . Доказ дається наступною ланцюжком наслідків => => => => Важливе зауваження. Припустимо, що в умови теореми замість ми написали . Чи можна стверджувати, що ? Відповідь негативна. Дійсно, нехай, наприклад, . тоді , але . Таким чином, підсумок цієї теореми і зауваження виглядає так: в нерівностях допустимо граничний перехід, треба тільки мати на увазі, що після граничного переходу суворе нерівність (типу "або") може замінитися на нестроге (> Перейде в , Перейде в ). Теорема 2. Нехай
тоді також сходиться послідовність і . Доведення: => або => або . беручи і з огляду на, що можна записати . Викидаючи зайве, отримаємо що або , що і говорить про те, що . Цю теорему часто називають "теоремою про двох міліціонерів" ( , - Міліціонери, - Злочинець, якого вони "беруть в кліщі").
визначення Першим чудовим межею називається межа теорема Перший чудовий межа дорівнює Доведення . Розглянемо два односторонніх межі и і доведемо, що кожен з них дорівнює 1. Тоді по теоремі двосторонній межа також буде дорівнювати 1. Отже, нехай (Цей інтервал - одне з закінчень бази ). У тригонометричному колі (радіуса ) З центром побудуємо центральний кут, рівний , І проведемо вертикальну дотичну в точці перетину горизонтальній осі з окружністю ( ). Позначимо точку перетину променя з кутом нахилу з колом буквою , А з вертикальною дотичній - буквою ; через позначимо проекцію точки на горизонтальну вісь. Мал. Тригонометричний коло Нехай -- площа трикутника , - Площа кругового сектора , а -- площа трикутника . Тоді очевидно наступне нерівність: Зауважимо, що горизонтальна координата точки дорівнює , А вертикальна - (Це висота трикутника ), так що . Площа центрального сектора кола радіуса з центральним кутом дорівнює , так що . з трикутника знаходимо, що . Тому Нерівність, що зв'язує площі трьох фігур, можна тепер записати у вигляді Всі три частини цієї нерівності є позитивними, тому його можна записати так: або (помноживши на ) Так: Межа постійної 1 в правій частині нерівності, очевидно, дорівнює 1. Якщо ми покажемо, що при межа в лівій частині нерівності теж дорівнює 1, то по теоремі "про двох міліціонерів" межа середньої частини також буде дорівнює 1. Отже, залишилося довести, що . Спершу зауважимо, що , так як дорівнює довжині дуги кола , Яка, очевидно, довше хорди . Застосовуючи теорему "про двох міліціонерів" до нерівності при , Отримуємо, що Проста заміна змінної показує, що і . Тепер зауважимо, що . Застосовуючи теореми про лінійність межі і про межі твору, отримуємо: Тим самим показано, що Зробимо тепер заміну ; при цьому база перейде в базу (Що означає, що якщо , то ). значить, але ( - Непарна функція), і тому Ми показали, що лівобічний межа також дорівнює 1, що і завершує доведення теореми. Доведена теорема означає, що графік функції виглядає так: Мал. Графік Наведемо приклади застосування першого чудового краю для обчислення інших споріднених меж. приклад обчислимо межа . Очевидно, що при цьому межа знаменника - Це перший чудовий межа, рівний 1 (і, отже, не рівний 0). Чисельник правої частини, рівний 1, має межу 1. Значить, по теоремі про межі відносини, приклад обчислимо межа . Зробимо заміну змінної: нехай . тоді і база переходить в базу . Після заміни отримуємо приклад обчислимо межа . Очевидно, що при цьому межа знаменника був обчислений в попередньому прикладі; він дорівнює 1. Чисельник правій частині має межу 1. Застосовуючи теорему про межу відносини, отримуємо приклад обчислимо межа . Перетворимо функцію під знаком межі наступним чином: Тепер винесемо постійний множник за знак межі і застосуємо теорему про межу твори: (Трохи нижче ми побачимо, що межі сомножителей існують, так що застосовувати цю теорему тут можна.) Зауважимо, що при замінах и база переходить в базу и , так що и Тому визначення Другим чудовим межею називається межа число , Заданий цією межею, грає дуже велику роль як в математичному аналізі, так і в інших розділах математики. число часто називають підставою натуральних логарифмів. теорема Другий чудовий межа існує. значення одеського форуму - Число, яке лежить між и . Докладніше вивчення числа показує, що - Ірраціональне число, кілька перших десяткових знаків якого такі: Для доведення теореми 2.15 нам знадобиться наступна лема; формула, в ній отримана, називається формулою бінома Ньютона. Лемма нехай и -- натуральне число. Тоді має місце формула Зауважимо, що в дроби очевидно, скорочуються всі співмножники в чисельнику і знаменнику, так що ця дріб дорівнює 1. Аналогічно, в попередньому (не виписані) слагаемом після скорочення виходить коефіцієнт, що дорівнює , В третьому справа слагаемом - рівний , І т. Д. Таким чином, коефіцієнти в доданків, що стоять на однакових місцях, вважаючи зліва і праворуч від краю формули, збігаються. Доведення . Доводити твердження леми будемо по індукції по параметру . при формула 2.2, очевидно, вірна: (Зауважимо, що при и формула 2.2 також добре відома: и Припустимо, що вона вірна для , І доведемо, що тоді вона вірна і при . дійсно, При цьому в квадратних дужках виходить: і так далі, тобто якраз те, що повинно вийти в якості коефіцієнтів формули бінома Ньютона при . Доказ теореми 2.15. Розглянемо послідовність і застосуємо до формулу бінома Ньютона при и . отримаємо Покажемо, що послідовність обмежена зверху. Для цього замінимо всі дроби , , ..., на 1. Всі ці дроби менше 1, так що сума в правій частині формули (Доказ теореми 2.15) збільшиться: Далі, замінимо всі числа в знаменниках цих доданків на 2; від цього права частина ще збільшиться. отримаємо: У правій частині вийшла сума членів геометричної прогресії. вона дорівнює Тому що і означає обмеженість послідовності зверху числом 3. Покажемо тепер, що послідовність не убуває. Дійсно, запишемо формулу (Доказ теореми 2.15) у вигляді В аналогічній формулі, написаної для замість , По-перше, збільшиться кожне з виразів в круглих дужках (так як від'ємник зменшиться) і, отже, збільшаться всі складові, які містять такі дужки. По-друге, число доданків збільшиться на одне: додасться позитивне доданок Отже, при зростанні номера члени послідовності строго зростають: при всіх . Застосуємо тепер до зростаючої обмеженої зверху послідовності теорему про межу монотонної обмеженою функції (теорема 2.13) і отримаємо, що існує межа причому число не більш постійної 3, що обмежує послідовність. Залишилося помітити, що . Так як всі наступні члени ще більше, то і межа , На підставі теореми про перехід до межі в нерівності, що не менше числа , Що і завершує доведення теореми. зауваження Можна також показати, що (2 .5) проте суворе доказ досить важко, і ми його тут пропускаємо. У формулі (2.5) можна зробити заміну , При цьому база перейде в базу , І ми отримаємо Вправа 2. 6 Покажіть, що мають місце також рівності и На цій основі, застосовуючи теореми про зв'язок двосторонніх меж з односторонніми, покажіть, що и Формули в цих зауваженні і вправі представляють собою іншу форму запису другого чудового краю. Ми збережемо назву другий чудовий межа за всіма цими формулами. приклад знайдемо межа . тут параметр - Фіксоване число. При обчисленні межі він буде розглядатися як постійна. зробимо заміну , тоді и . Тому (Тут ми скористалися, поки на інтуїтивному рівні, тим, що статечна функція неперервна, тобто що . Більш детально поняття безперервності функцій ми будемо вивчати нижче, в розділі Використання безперервності функцій при обчисленні меж.) Отримана формула дає нам можливість висловити експонентну функцію як певний межа. За допомогою схожої заміни обчислюються межі функцій виду в разі, коли підстава ступеня при деякій базі прагне до 1, а показник ступеня - До нескінченності (тобто є нескінченно великою функцією при цій основі; про нескінченно великих см. Нижче, в розділі Нескінченно великі величини і нескінченні межі). Такі вирази, а також і пов'язані з ними межі, називаються невизначеностями виду . Про невизначеностях інших видів піде мова нижче, після прикладу 2.29. Звернемо увагу читача, що - Це лише умовна запис: 1 тут вказує, що підстава ступеня прагне до 1 (і зовсім не обов'язково дорівнює 1); в "показнику ступеня" варто взагалі не число, а символ нескінченності. Тому було б грубою помилкою, зустрівши таку умовну запис (або написавши її), зробити висновок про те, що одиниця, мовляв, в будь-якого ступеня дає одиницю, і тому відповідь дорівнює одиниці. З умовними символами в цьому записі можна діяти так само, як з числами. Попередній приклад, в якому підстава ступеня прагне до 1, а показник ступеня к , Дає якраз невизначеність виду . Однак значення межі одно , А цей результат може бути будь-яким позитивним числом, в залежності від того, яке значення взято. Ось ще один приклад на розкриття невизначеності виду . приклад знайдемо межа . Тут підставу ступеня має межу а показник ступеня . Тому можна застосовувати той же прийом відомості до другого чудовому межі, що в попередньому прикладі. Для початку знайдемо, що слід взяти за нескінченно малу величину . Оскільки підстава ступеня прагне до 1, то воно дорівнює , де . значить, Тепер перетворимо функцію, що стоїть під знаком межі: Вираз, що стоїть в квадратних дужках, має вигляд і при прагне до числа (Це другий чудовий межа), а межа показника ступеня ми знайдемо окремо: Тому (Ми скористалися тим, що якщо и , то . Це випливає з безперервності показовою і логарифмічною функцій, якщо врахувати, що .) зауваження Чи не будь-які межі величин виду обчислюються за допомогою відомості до другого чудовому межі. Ще раз нагадаємо, що так треба поступати лише в разі, коли підстава ступеня при цій основі прагне до 1, а показник ступеня - До нескінченності. В інших ситуаціях можна буває для обчислення границі обійтися більш простими міркуваннями. Наприклад, при знаходженні межі можна помітити, що підстава ступеня прагне до , Так що виходить формально . Цей вислів не є невизначеністю (на відміну від виразу ), Так як підставу ступеня при досить великих близько до (І свідомо менше, скажімо, ) І при зведенні в необмежено збільшується ступінь буде менше і, отже, буде прагнути до 0. Так що і вдаватися до допомоги другого чудового межі не довелося.
функція y = f (x) називається нескінченно малої при x > a або при x ?, якщо або , Т. Е. Нескінченно мала функція - це функція, межа якої в даній точці дорівнює нулю. Приклади.
Встановимо наступне важливе співвідношення: Теорема. якщо функція y = f (x) представима при x > aу вигляді суми постійного числа b і нескінченно малої величини ? (x): f (x) = b + ? (x) то . Назад, якщо , то f (x) = b + ? (x), де a (x) - Нескінченно мала при x > a. Доведення.
Розглянемо основні властивості нескінченно малих функцій. Теорема 1. Алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі будь-якого кінцевого числа нескінченно малих є функція нескінченно мала. Доведення. Наведемо доказ для двох доданків. нехай f (x) = ? (x) + ? (x), де и . Нам потрібно довести, що при довільному як завгодно малому ?0 знайдеться ?>0, таке, що для x, Що задовольняють нерівності | X - a | , виконується | F (x) | ?. Отже, зафіксуємо довільне число ?0. Так як за умовою теореми ? (x) - Нескінченно мала функція, то знайдеться таке ?10, що при | X - a | ?1 маємо | ? (x) | ?/2. Аналогічно, так як ? (x) - Нескінченно мала, то знайдеться таке ?20, що при | X - a | ?2 маємо | ? (x) | ?/2. візьмемо ? = min { ?1, ?2}. тоді в околиці точки a радіусу ?буде виконуватися кожне з нерівностей | ? (x) | ?/2 і | ? (x) | ?/2. Отже, в цій околиці буде | F (x) | = | ? (x) + ? (x)| ? | ? (x) | + | ? (x) | ?/ 2 + ?/ 2 = ?, т. е. | F (x) | ?, що й треба було довести. Теорема 2. Твір нескінченно малої функції a (x) на обмежену функцію f (x) при x > a (Або при x > ?) Є нескінченно мала функція. Доведення. Так як функція f (x) обмежена, то існує число М таке, що при всіх значеннях x з деякою околиці точки a | f (x) | ?M. Крім того, так як a (x) - Нескінченно мала функція при x > a, То для довільного ?0 знайдеться околиця точки a, В якій буде виконуватися нерівність | ? (x) | ?/ M. Тоді в меншій з цих околиць маємо | ?f | ?/ M= ?. А це і означає, що af - Нескінченно мала. для випадку x > ? доказ проводиться аналогічно. З доведеної теореми випливають: Слідство 1. якщо и , то . Слідство 2. якщо и c =const, то . Теорема 3. Ставлення нескінченно малої функції ? (x) на функцію f (x), Межа якої відмінний від нуля, є нескінченно мала функція. Доведення. нехай . тоді 1/ F (x) є обмежена функція. Тому дріб є твір нескінченно малої функції на функцію обмежену, т. е. функція нескінченно мала. Порівняння нескінченно малих нехай y = f1(X) и y = f2(X) - Деякі дві функції, а x прагне до деякого x0 (Кінцевому або нескінченному). Якщо при цьому f1(X) > 0 и f2(X) > 0, Тобто якщо Це означає що f2(X) незрівнянно менше f1(X) при x > x0 (f2(X) незрівнянно швидше, ніж, прагне до нуля при x > x0). У цьому випадку говорять, що функція f2(X) є нескінченно малої функцією вищого (вищого) порядку малості, ніж функція f1(X), при x > x0. І позначають цей факт так: (Читається: f2(X) є «о мале »від f1(X) при x > x0). Суть записи (4.3) складається, як сказано вище, в тому, що нескінченно мала функція f2(X) є нескінченно малою частиною іншої нескінченно малої функції f1(X) при x > x0. Варіант 2: Це означає, що при x > x0 нескінченно малі функції f1(X) и f2(X) практично не відрізняються один від одного. У цьому випадку говорять, що функція f2(X) еквівалентна (рівносильна) функції f1(X) при x > x0. І позначається це так: У цьому випадку говорять, що нескінченно малі при x > x0 функції f1(X) и f2(X) - одного порядку малості. І записують цей факт так: Рішення. Еквівалентність (4.5) означає виконання граничного рівності (4.4). Тому для підтвердження еквівалентності (а) - (ж) обчислимо необхідні межі (4.4) і покажемо, що всі вони рівні 1: Отже, все еквівалентності (4.10) доведені. Нескінченно великі і порівняння нехай тобто функції y = f1(X) и y = f2(X) при x > x0 по абсолютній величині прагнуть до нескінченності. Тоді вони називаються нескінченно великими при x > x0. Порівнюють нескінченно великі функції за тим же принципом, що і нескінченно малі. А саме: 1) Якщо то функція f2(X) називається нескінченно великою функцією нижчого порядку зростання, Ніж нескінченно велика функція f1(X). А функція f1(X) - відповідно вищого порядку зростання, ніж f2(X). Зокрема, очевидно, що функції y = x; y = x2; y = x3; y = ex є нескінченно великими при x +?, Причому кожна наступна з них - вищого порядку зростання, ніж попередня. І взагалі, можна довести (див. Главу 4, §4), що будь-яка ступенева функція y = xn (n>0) при x +? є нескінченно великою функцією нижчого порядку зростання, ніж будь-яка показова функція y = ax (a 1). Тобто Доведення. Врахуємо, що (4.18) рівносильно (4.17), і обчисливши відповідні межі, переконаємося, що всі вони рівні 1: Символи Про і про (все що знайшла по символам) Порівняння б. м. і б. б. функцій. Символи O, o f, g визначені в деякій проколеної околиці x0 пишуть , якщо . Аналогічно визначається O при x?x0 + 0, x?x0 - 0, x???, x??. Приклад: f (x) = O (1), x?? означає локальну обмеженість функції в ?. Опр. Якщо при x?x0, f (x) = O (g) і g (x) = O (f), то f (x), g (x) називаються функціями одного порядку. Приклад: Функції x3, x2 є функціями одного порядку при x?1. Визначення o. Нехай f (x), g (x) визначені в деякій проколеної околиці точки x0, пишуть f (x) = o (g (x)), x?x0, якщо ? ? б. м. ? (x) при x?x0, така, что?x? : F (x) = ? (x) g (x) Аналогічно визначається o при x?x0 + 0, x?x0 - 0, x???, x??. Приклад: f (x) = o (1), при x?x0 означає, що f (x) б. м. при x?x0. Деякі приклади роботи з символами o (мається на увазі x?0). o (xn) ? o (xn) = o (xn) xm o (xn) = o (xn + m) c o (xn) = o (xn) (c-константа) o (xn) ? o (xn + p) = o (xn), тут p натуральне. o (xn + p) / xp = o (xn) Зокрема, o (xp) / xp = o (1). o (an xn? an + 1 xn + 1? ... ? an + p xn + p) = o (xn) Якщо ?, ? б. м. і ? = o (?), то говорять, що ? б. м. вищого порядку, ніж ?. Визначення. Функції f (x), g (x) називаються еквівалентними в x0 (кажуть так само, в околиці x0), якщо виконано хоча б одне з двох умов f (x) = g (x) + o (g (x)), x?x0 g (x) = f (x) + o (f (x)), x?x0. Умова еквівалентності записується у вигляді f?g, при x?x0. Зауваження 1. Якщо виконано одну з цих умов, то буде виконано і друге. Зауваження 2. Ці умови можна записати в іншій формі. Наприклад, перше з них: в деякій проколеної околиці точки має місце рівність f (x) = h (x) g (x), = 1. Зауваження 3. Якщо, наприклад, g (x) ?0, то перша умова можна записати у вигляді . Визначення. Якщо f (x) ? (x-x0) n при x?x0, то f (x) називається нескінченно малою порядку n при x?x0. Якщо f (x) ? при x?x0, то f (x) називається нескінченно великою порядку n при x?x0. Якщо f (x) б. б. при x?? і f (x) еквівалентна xn при x??, то f (x) називається нескінченно великою порядку n при x??. Зауваження. Якщо f (x) б. м. порядку n, то 1 / f (x) буде б. б. порядку n і навпаки. Приклади. Визначити характер функцій , в 0, 1, + ?. При обчисленні меж корисна наступна теорема Т2. Нехай f еквівалентна f1, g еквівалентна g1 при x?x0. Якщо існує межа , Тоді існує і . Якщо існує межа , Тоді існує і . Опр. якщо , То g називається головною частиною f при x? x0.
Визначення 1. Функція f (x) називається неперервною в точці x0, якщо . Дамо кілька розшифровок цього найважливішого визначення. а) Згадуючи поняття межі, запишемо безперервність f (x) в точці х0 у вигляді б) Так як х0= Lim x, то безперервність в точці х0 можна записати у вигляді Звідси випливає найважливіше властивість неперервної функції: для неперервної функції можна переставляти місцями знак функції і знак граничного переходу
в) Позначимо Dx = x-x0 (Приріст аргументу) і Df = f (x) -f (x0) (Приріст функції). Тоді безперервність в точці х0 означає, що , Т. Е. Нескінченно-малому приросту аргументу відповідає нескінченно-малий приріст функції. Введемо позначення: якщо ці межі існують. Визначення 2. Функція f (x) називається неперервною в точці х0 зліва (Праворуч) якщо f (x0) = F (x0 - 0) (f (x0) = F (x0+0)). Очевидно, що безперервність в точці х0 означає безперервність зліва і справа одночасно. Визначення 3. Функція f (x) називається неперервною на деякій множині Х, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини, т. Е. Якщо Зверніть увагу, де стоїть квантор , це важливо. Визначення. Якщо функція f (x) не є безперервною в точці х0, То кажуть, що в точці х0 функція f (x) має розрив. Граничний перехід у нерівностях | типи розривів Числові множини. Точні верхня і нижня межі множини. | приклади | Теорема про гранях | Властивості числових послідовностей. | арифметичні дії | Доведення | Функції, завдання та властивості. Межа, еквівалентність визначень межі. | Арифметичні дії над числовими послідовностями | Фізичний зміст похідної. | Геометричний зміст похідної. | |