Головна

Граничний перехід у нерівностях

  1.  P-n перехід в рівноважному стані
  2.  А писати Новітню Біблію кожен день необхідно для перекладу людства під час Квантового переходу. Щоб ТИ, Леонід, тоді робив, якби був САМ МНОЮ?
  3.  Аналіз коренів характеристичного рівняння перехідного процесу, вид перехідного процесу при різних коренях.
  4.  Квиток №15. матриця перетворення координат (матриця переходу) для поступальної КП. Приклад.
  5.  В активному режимі (емміторний перехід відкритий-колекторний закритий)
  6.  Як приклад розрахуємо перехідний процес в резонансному підсилювачі.
  7.  Відносно договору прокату встановлюється максимальний (граничний) термін - один рік, т. Е. Сторони мають право самостійно визначати термін договору, але не більше одного року.

Теорема 1. Нехай  - Сходиться послідовність і  . тоді .

Доказ цієї теореми проведемо методом від противного.

позначимо  . Тоді твердження, протилежне доказуваному, має вигляд:

.

візьмемо  . Тоді, за визначенням, границі послідовності, можна написати

.

Остання нерівність розпишемо у вигляді подвійного

Але так як  , то  і виходить що  , Що суперечить умові теореми.

Слідство. якщо и  сходяться послідовності і  , то

.

Доказ дається наступною ланцюжком наслідків

 =>  =>  =>

=>

Важливе зауваження. Припустимо, що в умови теореми замість  ми написали  . Чи можна стверджувати, що ?

Відповідь негативна. Дійсно, нехай, наприклад,  . тоді  , але .

Таким чином, підсумок цієї теореми і зауваження виглядає так: в нерівностях допустимо граничний перехід, треба тільки мати на увазі, що після граничного переходу суворе нерівність (типу "або") може замінитися на нестроге

(> Перейде в  , Перейде в  ).

Теорема 2. Нехай

  1. и  сходяться послідовності;
  2. ;

тоді  також сходиться послідовність і .

Доведення:

 =>

або

 =>

або .

беручи  і з огляду на, що  можна записати

.

Викидаючи зайве, отримаємо що

 або ,

що і говорить про те, що .

Цю теорему часто називають "теоремою про двох міліціонерів" ( ,  - Міліціонери,  - Злочинець, якого вони "беруть в кліщі").

  1. Перший і другий чудові межі.

визначення Першим чудовим межею називається межа

теорема Перший чудовий межа дорівнює

Доведення . Розглянемо два односторонніх межі и  і доведемо, що кожен з них дорівнює 1. Тоді по теоремі двосторонній межа  також буде дорівнювати 1. Отже, нехай  (Цей інтервал - одне з закінчень бази  ). У тригонометричному колі (радіуса  ) З центром  побудуємо центральний кут, рівний  , І проведемо вертикальну дотичну в точці  перетину горизонтальній осі з окружністю (  ). Позначимо точку перетину променя з кутом нахилу  з колом буквою  , А з вертикальною дотичній - буквою  ; через  позначимо проекцію точки  на горизонтальну вісь.  Мал.

Тригонометричний коло Нехай  -- площа трикутника ,  - Площа кругового сектора  , а  -- площа трикутника  . Тоді очевидно наступне нерівність:

Зауважимо, що горизонтальна координата точки  дорівнює  , А вертикальна -  (Це висота трикутника  ), так що .

Площа центрального сектора кола радіуса  з центральним кутом  дорівнює  , так що  . з трикутника  знаходимо, що .

Тому

Нерівність, що зв'язує площі трьох фігур, можна тепер записати у вигляді

Всі три частини цієї нерівності є позитивними, тому його можна записати так:  або (помноживши на  ) Так:

Межа постійної 1 в правій частині нерівності, очевидно, дорівнює 1. Якщо ми покажемо, що при  межа  в лівій частині нерівності теж дорівнює 1, то по теоремі "про двох міліціонерів" межа середньої частини  також буде дорівнює 1. Отже, залишилося довести, що  . Спершу зауважимо, що  , так як  дорівнює довжині дуги кола  , Яка, очевидно, довше хорди .

Застосовуючи теорему "про двох міліціонерів" до нерівності  при  , Отримуємо, що

Проста заміна змінної  показує, що і .

Тепер зауважимо, що  . Застосовуючи теореми про лінійність межі і про межі твору, отримуємо:

Тим самим показано, що  Зробимо тепер заміну  ; при цьому база  перейде в базу  (Що означає, що якщо  , то  ).

значить,  але (  - Непарна функція), і тому

Ми показали, що лівобічний межа також дорівнює 1, що і завершує доведення теореми. Доведена теорема означає, що графік функції  виглядає так:  Мал.

Графік  Наведемо приклади застосування першого чудового краю для обчислення інших споріднених меж.

приклад обчислимо межа  . Очевидно, що  при цьому межа знаменника  - Це перший чудовий межа, рівний 1 (і, отже, не рівний 0). Чисельник правої частини, рівний 1, має межу 1. Значить, по теоремі про межі відносини,

приклад обчислимо межа  . Зробимо заміну змінної: нехай  . тоді  і база  переходить в базу  . Після заміни отримуємо

приклад обчислимо межа  . Очевидно, що  при цьому межа знаменника  був обчислений в попередньому прикладі; він дорівнює 1. Чисельник правій частині має межу 1. Застосовуючи теорему про межу відносини, отримуємо

приклад обчислимо межа  . Перетворимо функцію під знаком межі наступним чином:  Тепер винесемо постійний множник за знак межі і застосуємо теорему про межу твори:  (Трохи нижче ми побачимо, що межі сомножителей існують, так що застосовувати цю теорему тут можна.) Зауважимо, що при замінах и  база  переходить в базу и  , так що и  Тому

визначення Другим чудовим межею називається межа

число  , Заданий цією межею, грає дуже велику роль як в математичному аналізі, так і в інших розділах математики. число  часто називають підставою натуральних логарифмів. теорема Другий чудовий межа існує. значення одеського форуму  - Число, яке лежить між и  . Докладніше вивчення числа  показує, що  - Ірраціональне число, кілька перших десяткових знаків якого такі:  Для доведення теореми 2.15 нам знадобиться наступна лема; формула, в ній отримана, називається формулою бінома Ньютона. Лемма нехай и  -- натуральне число. Тоді має місце формула  Зауважимо, що в дроби  очевидно, скорочуються всі співмножники в чисельнику і знаменнику, так що ця дріб дорівнює 1. Аналогічно, в попередньому (не виписані) слагаемом після скорочення виходить коефіцієнт, що дорівнює  , В третьому справа слагаемом - рівний  , І т. Д. Таким чином, коефіцієнти в доданків, що стоять на однакових місцях, вважаючи зліва і праворуч від краю формули, збігаються. Доведення . Доводити твердження леми будемо по індукції по параметру  . при  формула 2.2, очевидно, вірна:  (Зауважимо, що при и  формула 2.2 також добре відома: и  Припустимо, що вона вірна для  , І доведемо, що тоді вона вірна і при  . дійсно,  При цьому в квадратних дужках виходить:  і так далі, тобто якраз те, що повинно вийти в якості коефіцієнтів формули бінома Ньютона при  . Доказ теореми 2.15. Розглянемо послідовність  і застосуємо до  формулу бінома Ньютона при и  . отримаємо  Покажемо, що послідовність  обмежена зверху. Для цього замінимо всі дроби ,  , ...,  на 1. Всі ці дроби менше 1, так що сума в правій частині формули (Доказ теореми 2.15) збільшиться:  Далі, замінимо всі числа  в знаменниках цих доданків на 2; від цього права частина ще збільшиться. отримаємо:  У правій частині вийшла сума членів геометричної прогресії. вона дорівнює  Тому  що і означає обмеженість послідовності зверху числом 3. Покажемо тепер, що послідовність  не убуває. Дійсно, запишемо формулу (Доказ теореми 2.15) у вигляді  В аналогічній формулі, написаної для  замість  , По-перше, збільшиться кожне з виразів в круглих дужках (так як від'ємник зменшиться) і, отже, збільшаться всі складові, які містять такі дужки. По-друге, число доданків збільшиться на одне: додасться позитивне доданок  Отже, при зростанні номера  члени послідовності  строго зростають:  при всіх  . Застосуємо тепер до зростаючої обмеженої зверху послідовності  теорему про межу монотонної обмеженою функції (теорема 2.13) і отримаємо, що існує межа  причому число  не більш постійної 3, що обмежує послідовність. Залишилося помітити, що  . Так як всі наступні члени  ще більше, то і межа  , На підставі теореми про перехід до межі в нерівності, що не менше числа  , Що і завершує доведення теореми. зауваження Можна також показати, що  (2 .5) проте суворе доказ досить важко, і ми його тут пропускаємо. У формулі (2.5) можна зробити заміну  , При цьому база  перейде в базу  , І ми отримаємо  Вправа 2. 6 Покажіть, що мають місце також рівності и  На цій основі, застосовуючи теореми про зв'язок двосторонніх меж з односторонніми, покажіть, що и  Формули в цих зауваженні і вправі представляють собою іншу форму запису другого чудового краю. Ми збережемо назву другий чудовий межа за всіма цими формулами.

приклад знайдемо межа  . тут параметр  - Фіксоване число. При обчисленні межі він буде розглядатися як постійна. зробимо заміну  , тоді и .

Тому  (Тут ми скористалися, поки на інтуїтивному рівні, тим, що статечна функція неперервна, тобто що  . Більш детально поняття безперервності функцій ми будемо вивчати нижче, в розділі Використання безперервності функцій при обчисленні меж.) Отримана формула дає нам можливість висловити експонентну функцію  як певний межа. За допомогою схожої заміни обчислюються межі функцій виду  в разі, коли підстава ступеня  при деякій базі прагне до 1, а показник ступеня  - До нескінченності (тобто є нескінченно великою функцією при цій основі; про нескінченно великих см. Нижче, в розділі Нескінченно великі величини і нескінченні межі). Такі вирази, а також і пов'язані з ними межі, називаються невизначеностями виду  . Про невизначеностях інших видів піде мова нижче, після прикладу 2.29. Звернемо увагу читача, що  - Це лише умовна запис: 1 тут вказує, що підстава ступеня прагне до 1 (і зовсім не обов'язково дорівнює 1); в "показнику ступеня" варто взагалі не число, а символ нескінченності. Тому було б грубою помилкою, зустрівши таку умовну запис (або написавши її), зробити висновок про те, що одиниця, мовляв, в будь-якого ступеня дає одиницю, і тому відповідь дорівнює одиниці. З умовними символами в цьому записі можна діяти так само, як з числами. Попередній приклад, в якому підстава ступеня  прагне до 1, а показник ступеня к  , Дає якраз невизначеність виду  . Однак значення межі одно  , А цей результат може бути будь-яким позитивним числом, в залежності від того, яке значення  взято. Ось ще один приклад на розкриття невизначеності виду .

приклад знайдемо межа .

Тут підставу ступеня має межу  а показник ступеня  . Тому можна застосовувати той же прийом відомості до другого чудовому межі, що в попередньому прикладі.

Для початку знайдемо, що слід взяти за нескінченно малу величину  . Оскільки підстава ступеня прагне до 1, то воно дорівнює  , де

. значить,

Тепер перетворимо функцію, що стоїть під знаком межі:

Вираз, що стоїть в квадратних дужках, має вигляд  і при  прагне до числа  (Це другий чудовий межа), а межа показника ступеня ми знайдемо окремо:

Тому  (Ми скористалися тим, що якщо и  , то  . Це випливає з безперервності показовою і логарифмічною функцій, якщо врахувати, що  .)

зауваження Чи не будь-які межі величин виду  обчислюються за допомогою відомості до другого чудовому межі. Ще раз нагадаємо, що так треба поступати лише в разі, коли підстава ступеня  при цій основі прагне до 1, а показник ступеня  - До нескінченності. В інших ситуаціях можна буває для обчислення границі обійтися більш простими міркуваннями. Наприклад, при знаходженні межі  можна помітити, що підстава ступеня прагне до  , Так що виходить формально  . Цей вислів не є невизначеністю (на відміну від виразу  ), Так як підставу ступеня при досить великих  близько до  (І свідомо менше, скажімо,  ) І при зведенні в необмежено збільшується ступінь  буде менше  і, отже, буде прагнути до 0. Так що  і вдаватися до допомоги другого чудового межі не довелося.

  1. Нескінченно великі і нескінченно малі функції. Порівняння. Символи О і о.

функція y = f (x) називається нескінченно малої при x > a або при x ?, якщо  або  , Т. Е. Нескінченно мала функція - це функція, межа якої в даній точці дорівнює нулю.

Приклади.

  1. функція f (x)= (x-1)2 є нескінченно малою при x 1, так як  (Див. Рис.).
  2. функція f (x) = tgx - Нескінченно мала при x 0.
  3. f (x) = Ln (1 +x) - Нескінченно мала при x 0.
  4. f (x) = 1 /x- Нескінченно мала при x ?.

Встановимо наступне важливе співвідношення:

Теорема. якщо функція y = f (x) представима при x > aу вигляді суми постійного числа b і нескінченно малої величини ? (x): f (x) = b + ? (x) то .

Назад, якщо  , то f (x) = b + ? (x), де a (x) - Нескінченно мала при x > a.

Доведення.

  1. Доведемо першу частину твердження. з рівності f (x) = b + ? (x) слід | F (x) - b | = | ? |. Але так як a (x) - Нескінченно мала, то при довільному ? знайдеться ? - околиця точки a, при всіх x з якої, значення a (x) задовольняють співвідношенню | ? (x) | ?. тоді | F (x) - b |  ?. А це і означає, що .
  2. якщо  , То при будь-якому ? 0 для всіх х з деякою ? - околиця точки a буде | F (x) - b |  ?. Але якщо позначимоf (x) - b = ?, то | ? (x) | ?, а це означає, що a - Нескінченно мала.

Розглянемо основні властивості нескінченно малих функцій.

Теорема 1. Алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі будь-якого кінцевого числа нескінченно малих є функція нескінченно мала.

Доведення. Наведемо доказ для двох доданків. нехай f (x) = ? (x) + ? (x), де и  . Нам потрібно довести, що при довільному як завгодно малому ?0 знайдеться ?>0, таке, що для x, Що задовольняють нерівності | X - a | , виконується | F (x) |  ?.

Отже, зафіксуємо довільне число ?0. Так як за умовою теореми ? (x) - Нескінченно мала функція, то знайдеться таке ?10, що при | X - a | ?1 маємо | ? (x) | ?/2. Аналогічно, так як ? (x) - Нескінченно мала, то знайдеться таке ?20, що при | X - a | ?2 маємо | ? (x) | ?/2.

візьмемо ? = min { ?1, ?2}. тоді в околиці точки a радіусу ?буде виконуватися кожне з нерівностей | ? (x) | ?/2 і | ? (x) | ?/2. Отже, в цій околиці буде

| F (x) | = | ? (x) + ? (x)| ? | ? (x) | + | ? (x) | ?/ 2 + ?/ 2 = ?,

т. е. | F (x) | ?, що й треба було довести.

Теорема 2. Твір нескінченно малої функції a (x) на обмежену функцію f (x) при x > a (Або при x > ?) Є нескінченно мала функція.

Доведення. Так як функція f (x) обмежена, то існує число М таке, що при всіх значеннях x з деякою околиці точки a | f (x) | ?M. Крім того, так як a (x) - Нескінченно мала функція при x > a, То для довільного ?0 знайдеться околиця точки a, В якій буде виконуватися нерівність | ? (x) | ?/ M. Тоді в меншій з цих околиць маємо | ?f | ?/ M= ?. А це і означає, що af - Нескінченно мала. для випадку x > ? доказ проводиться аналогічно.

З доведеної теореми випливають:

Слідство 1. якщо и  , то .

Слідство 2. якщо и c =const, то .

Теорема 3. Ставлення нескінченно малої функції ? (x) на функцію f (x), Межа якої відмінний від нуля, є нескінченно мала функція.

Доведення. нехай  . тоді 1/ F (x) є обмежена функція. Тому дріб  є твір нескінченно малої функції на функцію обмежену, т. е. функція нескінченно мала.

Порівняння нескінченно малих

нехай y = f1(X) и y = f2(X) - Деякі дві функції, а x прагне до деякого x0 (Кінцевому або нескінченному). Якщо при цьому f1(X) > 0 и f2(X) > 0, Тобто якщо

Це означає що f2(X) незрівнянно менше f1(X) при x > x0 (f2(X) незрівнянно швидше, ніж, прагне до нуля при x > x0). У цьому випадку говорять, що функція f2(X) є нескінченно малої функцією вищого (вищого) порядку малості, ніж функція f1(X), при x > x0. І позначають цей факт так:

(Читається: f2(X) є «о мале »від f1(X) при x > x0). Суть записи (4.3) складається, як сказано вище, в тому, що нескінченно мала функція f2(X) є нескінченно малою частиною іншої нескінченно малої функції f1(X) при x > x0.

Варіант 2:

Це означає, що при x > x0 нескінченно малі функції f1(X) и f2(X) практично не відрізняються один від одного. У цьому випадку говорять, що функція f2(X) еквівалентна (рівносильна) функції f1(X) при x > x0. І позначається це так:

У цьому випадку говорять, що нескінченно малі при x > x0 функції f1(X) и f2(X) - одного порядку малості. І записують цей факт так:

Рішення. Еквівалентність (4.5) означає виконання граничного рівності (4.4). Тому для підтвердження еквівалентності (а) - (ж) обчислимо необхідні межі (4.4) і покажемо, що всі вони рівні 1:

Отже, все еквівалентності (4.10) доведені.

Нескінченно великі і порівняння

нехай

тобто функції y = f1(X) и y = f2(X) при x > x0 по абсолютній величині прагнуть до нескінченності. Тоді вони називаються нескінченно великими при x > x0.

Порівнюють нескінченно великі функції за тим же принципом, що і нескінченно малі. А саме:

1) Якщо

то функція f2(X) називається нескінченно великою функцією нижчого порядку зростання, Ніж нескінченно велика функція f1(X). А функція f1(X) - відповідно вищого порядку зростання, ніж f2(X).

Зокрема, очевидно, що функції y = x; y = x2; y = x3; y = ex є нескінченно великими при x +?, Причому кожна наступна з них - вищого порядку зростання, ніж попередня. І взагалі, можна довести (див. Главу 4, §4), що будь-яка ступенева функція y = xn (n>0) при x +? є нескінченно великою функцією нижчого порядку зростання, ніж будь-яка показова функція y = ax (a 1). Тобто

Доведення. Врахуємо, що (4.18) рівносильно (4.17), і обчисливши відповідні межі, переконаємося, що всі вони рівні 1:

Символи Про і про (все що знайшла по символам)

Порівняння б. м. і б. б. функцій. Символи O, o

f, g визначені в деякій проколеної околиці x0

пишуть  , якщо

.

Аналогічно визначається O при x?x0 + 0, x?x0 - 0, x???, x??.

Приклад: f (x) = O (1), x?? означає локальну обмеженість функції в ?.

Опр. Якщо при x?x0, f (x) = O (g) і g (x) = O (f), то f (x), g (x) називаються функціями одного порядку.

Приклад: Функції x3, x2 є функціями одного порядку при x?1.

Визначення o. Нехай f (x), g (x) визначені в деякій проколеної околиці точки x0, пишуть f (x) = o (g (x)), x?x0, якщо

?  ? б. м. ? (x) при x?x0, така, что?x?  : F (x) = ? (x) g (x)

Аналогічно визначається o при x?x0 + 0, x?x0 - 0, x???, x??.

Приклад: f (x) = o (1), при x?x0 означає, що f (x) б. м. при x?x0.

Деякі приклади роботи з символами o (мається на увазі x?0).

o (xn) ? o (xn) = o (xn)

xm o (xn) = o (xn + m)

c o (xn) = o (xn) (c-константа)

o (xn) ? o (xn + p) = o (xn), тут p натуральне.

o (xn + p) / xp = o (xn) Зокрема, o (xp) / xp = o (1).

o (an xn? an + 1 xn + 1? ... ? an + p xn + p) = o (xn)

Якщо ?, ? б. м. і ? = o (?), то говорять, що ? б. м. вищого порядку, ніж ?.

Визначення. Функції f (x), g (x) називаються еквівалентними в x0 (кажуть так само, в околиці x0), якщо виконано хоча б одне з двох умов

f (x) = g (x) + o (g (x)), x?x0

g (x) = f (x) + o (f (x)), x?x0.

Умова еквівалентності записується у вигляді f?g, при x?x0.

Зауваження 1. Якщо виконано одну з цих умов, то буде виконано і друге.

Зауваження 2. Ці умови можна записати в іншій формі. Наприклад, перше з них: в деякій проколеної околиці точки має місце рівність f (x) = h (x) g (x),  = 1.

Зауваження 3. Якщо, наприклад, g (x) ?0, то перша умова можна записати у вигляді .

Визначення. Якщо f (x) ? (x-x0) n при x?x0, то f (x) називається нескінченно малою порядку n при x?x0.

Якщо f (x) ?  при x?x0, то f (x) називається нескінченно великою порядку n при x?x0.

Якщо f (x) б. б. при x?? і f (x) еквівалентна xn при x??, то f (x) називається нескінченно великою порядку n при x??.

Зауваження. Якщо f (x) б. м. порядку n, то 1 / f (x) буде б. б. порядку n і навпаки.

Приклади. Визначити характер функцій ,  в 0, 1, + ?.

При обчисленні меж корисна наступна теорема

Т2. Нехай f еквівалентна f1, g еквівалентна g1 при x?x0.

Якщо існує межа  , Тоді існує і .

Якщо існує межа  , Тоді існує і .

Опр. якщо  , То g називається головною частиною f при x? x0.

  1. Безперервність і типи розриву. Переборна особлива точка.

Визначення 1. Функція f (x) називається неперервною в точці x0, якщо .

Дамо кілька розшифровок цього найважливішого визначення.

а) Згадуючи поняття межі, запишемо безперервність f (x) в точці х0 у вигляді

б) Так як х0= Lim x, то безперервність в точці х0 можна записати у вигляді

Звідси випливає найважливіше властивість неперервної функції: для неперервної функції можна переставляти місцями знак функції і знак граничного переходу

в) Позначимо Dx = x-x0 (Приріст аргументу) і Df = f (x) -f (x0) (Приріст функції). Тоді безперервність в точці х0 означає, що  , Т. Е. Нескінченно-малому приросту аргументу відповідає нескінченно-малий приріст функції.

Введемо позначення:

якщо ці межі існують.

Визначення 2. Функція f (x) називається неперервною в точці х0 зліва (Праворуч) якщо f (x0) = F (x0 - 0) (f (x0) = F (x0+0)). Очевидно, що безперервність в точці х0 означає безперервність зліва і справа одночасно.

Визначення 3. Функція f (x) називається неперервною на деякій множині Х, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини, т. Е. Якщо

Зверніть увагу, де стоїть квантор  , це важливо.

Визначення. Якщо функція f (x) не є безперервною в точці х0, То кажуть, що в точці х0 функція f (x) має розрив.

 Граничний перехід у нерівностях |  типи розривів


 Числові множини. Точні верхня і нижня межі множини. |  приклади |  Теорема про гранях |  Властивості числових послідовностей. |  арифметичні дії |  Доведення |  Функції, завдання та властивості. Межа, еквівалентність визначень межі. |  Арифметичні дії над числовими послідовностями |  Фізичний зміст похідної. |  Геометричний зміст похідної. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати