Головна

Доведення

  1.  Нескінченно малі функції. Арифметичні дії з нескінченно малими (доказ)
  2.  Другий чудовий межа (доказ)
  3.  Глава 4. Соціальне доказ
  4.  Глава 4. Соціальне доказ.
  5.  Глава 4. Соціальне доказ. Істина - це ми
  6.  Доведення
  7.  Доведення

Ідея докази побудована на нерівність:

.

нехай ,  . Тоді відповідно до рівності (17.1):

1)  - Нескінченно мала послідовність (згідно 17.1);

2)  (Нескінченно мала послідовність);

3)  (Нескінченно мала послідовність).

  1. Теорема про граничний перехід. Її слідства. Теорема «про двох поліцейських».

Арифметичні операції над сходяться послідовностями приводять до таких же арифметичних операцій над їх межами. У цьому пункті покажемо, що нерівності, яким задовольняють елементи сходяться послідовностей, в межі переходять у відповідні нерівності для меж цих послідовностей.

теорема. Якщо елементи збіжної послідовності {xn}, Починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? b (xn ? b), То і межа a цієї послідовності задовольняє нерівності a ? b (a ? b).

Доведення. Нехай всі елементи xn, Принаймні починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? b. Потрібно довести нерівність a ? b. Припустимо, що a < b. оскільки a - Межа послідовності {xn}, То для позитивного ? = b - a можна вказати номер N такий, що при n ? N виконується нерівність |xn - a| < b - a. Це нерівність еквівалентно наступним двом нерівності: - (b - a) < xn - a < b - a. Використовуючи праве з цих нерівностей, отримаємо xn < b, А це суперечить умові теореми. випадок xn ? b розглядається аналогічно. Теорема доведена.

зауваження. Елементи сходящейся послідовності {xn} Можуть задовольняти суворому нерівності xn > b, Однак при цьому межа a може виявитися рівним b. Наприклад, якщо  , то xn > 0, однак .

слідство 1. якщо елементи xn и yn сходяться послідовностей {xn} І {yn}, Починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? yn, То їх межі задовольняють такому ж нерівності:

Справді, елементи послідовності {yn - xn} Невід'ємні, а тому неотрицателен і її межа  . Звідси слідує що

слідство 2. Якщо всі елементи збіжної послідовності {xn} Знаходяться на сегменті [a, b], То і її межа c також знаходиться на цьому сегменті.

Справді, так як a ? xn ? b, то a ? c ? b.

теорема 2. нехай

  1. и  сходяться послідовності;
  2. ;

тоді  також сходиться послідовність і .

Доведення:

 =>

або

 =>

або .

беручи  і з огляду на, що  можна записати

.

Викидаючи зайве, отримаємо що

 або ,

що і говорить про те, що .

Цю теорему часто називають "теоремою про двох поліцейських" ( ,  - Поліцейські,  - Злочинець, якого вони "беруть в кліщі").

теорема. нехай {xn} І {zn} - Сходяться послідовності, які мають загальний межа a. Нехай, крім того, починаючи з деякого номера, елементи послідовності {yn} Задовольняють нерівності xn ? yn ? zn. Тоді послідовність {yn} Сходиться і має межу a.

Доведення. Нам досить довести, що послідовність {yn - a} Є нескінченно малою. позначимо через N *  номер, починаючи з якого виконуються нерівності, зазначені в умові теореми. Тоді, починаючи з цього ж номера, будуть виконуватися також нерівності xn - a ? yn - a ? zn - a. Звідси випливає, що при n ? N *  елементи послідовності {yn - a} Задовольняють нерівності

|yn - a| ? max {|xn - a|, |zn - a|}.

Так як и  , То для будь-якого ? > 0 можна вказати номера N1 и N2 такі, що при n ? N1 |xn - a| < ?, А при n ? N2 |zn - a| < ?. нехай N = Max {N * , N1, N2}. Починаючи з цього номера, має місце нерівність |yn - a| < ?. Отже, послідовність {yn - a} - Нескінченно мала. Теорема доведена.

6. Монотонні і обмежені послідовності, їх збіжність.

Про п р е д е л е н і е. Послідовність  називається неубивающей (незростаюча), якщо  справедливо нерівність

.

Якщо насправді виконуються суворі нерівності  , То послідовність  називається строго зростаючою (строго спадною) або просто зростаючою (спадною). Послідовності убутні і зростаючі, неубутних і незростаюча називаються монотонними.

Елементи монотонних послідовностей можна розташувати в ланцюжка  , Звідки видно, що неубутна послідовність обмежена знизу, а незростаюча зверху.

П р и м і р и:

1)  - Незростаюча послідовність.

2)  - Зростаюча послідовність.

Теорема, яка стверджує, що монотонна обмежена послідовність чисел завжди має межу.

Т е о р е м а 1. Якщо послідовність дійсних чисел

 (1)

не убуває (не збільшується) і обмежена зверху (знизу) числом  (відповідно  ), То існує дійсне число  , Що не перевищує  (Не менше  ), До якого ця послідовність прагне до своєї межі:

 (2)

(відповідно  ).

Доведення. Нехай послідовність (1) не убуває і нехай поки  , Тоді і все  . Кожен елемент послідовності розкладемо в нескінченну розкладемо в нескінченну десяткову дріб:

 . (3)

Так як послідовність  обмежена зверху числом  і не убуває, то на підставі леми 2 § 1.6, десяткові дроби (3) стабілізуються до деякого числа :

,

але тоді  прагнути до  як до своєї межі:

.

Справді, для будь-якого  знайдеться натуральне  таке, що  . Так як  стабілізується до  , то

для всіх  , де  досить велике, але тоді

,

т. е.  при .

якщо  , То додамо до  число  настільки велика, що  , І покладемо .

послідовність  не убуває, обмежена зверху числом  і її елементи позитивні. Тому, по доведеному вище існує межа  , Але тоді існує також межа  , І теорема доведена для довільної неубивающей послідовності.

Якщо тепер послідовність  не збільшується і обмежена знизу числом  , То послідовність чисел  не убуває і обмежена зверху числом  , І, на підставі вже доведеного, існує межа  , Який ми позначили через  . Отже, існує також  . Теорема доведена.

З а м е год а зв і е. Якщо послідовність дійсних чисел  сходиться, то їх десяткові розкладання не обов'язково стабілізуються. Наприклад, якщо

,

де після коми стоять  нулів або  дев'яток, то послідовність  має межу, що дорівнює 1  , Однак, як легко бачити, ця послідовність не стабілізується.

Якщо монотонна послідовність  обмежена, то вона сходиться.

Доведення. Так як послідовність  обмежена, то безліч її елементів має точні верхню  і нижню  грані. нехай  - Неубутна послідовність і - Точна верхня грань безлічі її елементів. Це означає, що для будь-якого числа  можна вказати такий елемент , що и . Ці два нерівності рівносильні нерівності  або . Так як  - Неубутна послідовність, то при  виконується  або . Це означає, що при  виконується  або . Таким чином, . Аналогічно доводиться випадок, коли  - Незростаюча послідовність.

Зауваження 1. Умова обмеженості монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності. Дійсно, по теоремі 8 сходиться монотонна послідовність обмежена.

Зауваження 2. Збіжна послідовність може і не бути монотонної. Наприклад, послідовність  сходиться до числа нуль, але не є монотонною.

Зауваження 3. якщо послідовність  неубутна сходиться і - Її межа, то для всіх номерів n виконується нерівність . Аналогічно, якщо  незростаюча сходиться послідовність і  - Її межа, то для всіх номерів n справедливо .

 арифметичні дії |  Функції, завдання та властивості. Межа, еквівалентність визначень межі.


 Числові множини. Точні верхня і нижня межі множини. |  приклади |  Теорема про гранях |  Властивості числових послідовностей. |  Арифметичні дії над числовими послідовностями |  Граничний перехід у нерівностях |  Граничний перехід у нерівностях |  типи розривів |  Фізичний зміст похідної. |  Геометричний зміст похідної. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати