Головна |
ДоведенняІдея докази побудована на нерівність: . нехай , . Тоді відповідно до рівності (17.1): 1) - Нескінченно мала послідовність (згідно 17.1); 2) (Нескінченно мала послідовність); 3) (Нескінченно мала послідовність).
Арифметичні операції над сходяться послідовностями приводять до таких же арифметичних операцій над їх межами. У цьому пункті покажемо, що нерівності, яким задовольняють елементи сходяться послідовностей, в межі переходять у відповідні нерівності для меж цих послідовностей. теорема. Якщо елементи збіжної послідовності {xn}, Починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? b (xn ? b), То і межа a цієї послідовності задовольняє нерівності a ? b (a ? b). Доведення. Нехай всі елементи xn, Принаймні починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? b. Потрібно довести нерівність a ? b. Припустимо, що a < b. оскільки a - Межа послідовності {xn}, То для позитивного ? = b - a можна вказати номер N такий, що при n ? N виконується нерівність |xn - a| < b - a. Це нерівність еквівалентно наступним двом нерівності: - (b - a) < xn - a < b - a. Використовуючи праве з цих нерівностей, отримаємо xn < b, А це суперечить умові теореми. випадок xn ? b розглядається аналогічно. Теорема доведена. зауваження. Елементи сходящейся послідовності {xn} Можуть задовольняти суворому нерівності xn > b, Однак при цьому межа a може виявитися рівним b. Наприклад, якщо , то xn > 0, однак . слідство 1. якщо елементи xn и yn сходяться послідовностей {xn} І {yn}, Починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? yn, То їх межі задовольняють такому ж нерівності:
Справді, елементи послідовності {yn - xn} Невід'ємні, а тому неотрицателен і її межа . Звідси слідує що
слідство 2. Якщо всі елементи збіжної послідовності {xn} Знаходяться на сегменті [a, b], То і її межа c також знаходиться на цьому сегменті. Справді, так як a ? xn ? b, то a ? c ? b. теорема 2. нехай
тоді також сходиться послідовність і . Доведення: => або => або . беручи і з огляду на, що можна записати . Викидаючи зайве, отримаємо що або , що і говорить про те, що . Цю теорему часто називають "теоремою про двох поліцейських" ( , - Поліцейські, - Злочинець, якого вони "беруть в кліщі"). теорема. нехай {xn} І {zn} - Сходяться послідовності, які мають загальний межа a. Нехай, крім того, починаючи з деякого номера, елементи послідовності {yn} Задовольняють нерівності xn ? yn ? zn. Тоді послідовність {yn} Сходиться і має межу a. Доведення. Нам досить довести, що послідовність {yn - a} Є нескінченно малою. позначимо через N * номер, починаючи з якого виконуються нерівності, зазначені в умові теореми. Тоді, починаючи з цього ж номера, будуть виконуватися також нерівності xn - a ? yn - a ? zn - a. Звідси випливає, що при n ? N * елементи послідовності {yn - a} Задовольняють нерівності |yn - a| ? max {|xn - a|, |zn - a|}. Так як и , То для будь-якого ? > 0 можна вказати номера N1 и N2 такі, що при n ? N1 |xn - a| < ?, А при n ? N2 |zn - a| < ?. нехай N = Max {N * , N1, N2}. Починаючи з цього номера, має місце нерівність |yn - a| < ?. Отже, послідовність {yn - a} - Нескінченно мала. Теорема доведена. 6. Монотонні і обмежені послідовності, їх збіжність. Про п р е д е л е н і е. Послідовність називається неубивающей (незростаюча), якщо справедливо нерівність . Якщо насправді виконуються суворі нерівності , То послідовність називається строго зростаючою (строго спадною) або просто зростаючою (спадною). Послідовності убутні і зростаючі, неубутних і незростаюча називаються монотонними. Елементи монотонних послідовностей можна розташувати в ланцюжка , Звідки видно, що неубутна послідовність обмежена знизу, а незростаюча зверху. П р и м і р и: 1) - Незростаюча послідовність. 2) - Зростаюча послідовність. Теорема, яка стверджує, що монотонна обмежена послідовність чисел завжди має межу. Т е о р е м а 1. Якщо послідовність дійсних чисел (1) не убуває (не збільшується) і обмежена зверху (знизу) числом (відповідно ), То існує дійсне число , Що не перевищує (Не менше ), До якого ця послідовність прагне до своєї межі: (2) (відповідно ). Доведення. Нехай послідовність (1) не убуває і нехай поки , Тоді і все . Кожен елемент послідовності розкладемо в нескінченну розкладемо в нескінченну десяткову дріб: . (3) Так як послідовність обмежена зверху числом і не убуває, то на підставі леми 2 § 1.6, десяткові дроби (3) стабілізуються до деякого числа : , але тоді прагнути до як до своєї межі: . Справді, для будь-якого знайдеться натуральне таке, що . Так як стабілізується до , то для всіх , де досить велике, але тоді , т. е. при . якщо , То додамо до число настільки велика, що , І покладемо . послідовність не убуває, обмежена зверху числом і її елементи позитивні. Тому, по доведеному вище існує межа , Але тоді існує також межа , І теорема доведена для довільної неубивающей послідовності. Якщо тепер послідовність не збільшується і обмежена знизу числом , То послідовність чисел не убуває і обмежена зверху числом , І, на підставі вже доведеного, існує межа , Який ми позначили через . Отже, існує також . Теорема доведена. З а м е год а зв і е. Якщо послідовність дійсних чисел сходиться, то їх десяткові розкладання не обов'язково стабілізуються. Наприклад, якщо , де після коми стоять нулів або дев'яток, то послідовність має межу, що дорівнює 1 , Однак, як легко бачити, ця послідовність не стабілізується. Якщо монотонна послідовність обмежена, то вона сходиться. Доведення. Так як послідовність обмежена, то безліч її елементів має точні верхню і нижню грані. нехай - Неубутна послідовність і - Точна верхня грань безлічі її елементів. Це означає, що для будь-якого числа можна вказати такий елемент , що и . Ці два нерівності рівносильні нерівності або . Так як - Неубутна послідовність, то при виконується або . Це означає, що при виконується або . Таким чином, . Аналогічно доводиться випадок, коли - Незростаюча послідовність. Зауваження 1. Умова обмеженості монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності. Дійсно, по теоремі 8 сходиться монотонна послідовність обмежена. Зауваження 2. Збіжна послідовність може і не бути монотонної. Наприклад, послідовність сходиться до числа нуль, але не є монотонною. Зауваження 3. якщо послідовність неубутна сходиться і - Її межа, то для всіх номерів n виконується нерівність . Аналогічно, якщо незростаюча сходиться послідовність і - Її межа, то для всіх номерів n справедливо . арифметичні дії | Функції, завдання та властивості. Межа, еквівалентність визначень межі. Числові множини. Точні верхня і нижня межі множини. | приклади | Теорема про гранях | Властивості числових послідовностей. | Арифметичні дії над числовими послідовностями | Граничний перехід у нерівностях | Граничний перехід у нерівностях | типи розривів | Фізичний зміст похідної. | Геометричний зміст похідної. | |