Головна

а) Визначники 2-го, 3-го і п-го порядків (визначення і з св-ва). б) Теорема Лапласа про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпчика.

  1.  II. Диференціальні рівняння вищих порядків.
  2.  АЛГОРИТМИ УПРАВЛІННЯ I-го і II-го порядків
  3.  Аналіз використання основних засобів в цілому і по їх елементам
  4.  Аналіз собівартості за елементами витрат
  5.  Квиток №10 Характеристика угруповання витрат по калькуляційних статтях і за економічними елементами.
  6.  В Які рядки віконують огляд електрообладнання розподільного пристрою без постійного обслуговуючий персоналу?

а) Визначником матриці 2-го порядку наз число, кіт обчислюється за формулою:

?2= | А | = | а11а12| = А11а2212а21.-члени визначника.

| а21а22 |

Визначником матриці 3-го порядку кіт обчислюється за формулою: ?3= | А | = а11а22а33+ а12а23а32+ а21а32а1331а22а1312а21а3332а23а11.

Визначником квадратної матриці n-го порядку наз число = алгебраїчній сумі п! членів, кожен з кіт явл твором п елементів матриці, узятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця, причому знак кожного члена визначається як (-1)r(J)де r (J) число інверсій в перестановці J з номерів стовпців елементів матриці, якщо при цьому номери рядків записані в порядку зростання: ? = | А | = ?(J)(-1)r(J)a1j1a2j2... anjn.

C-ва:1) якщо будь-який рядок (стовпець) матриці сост з одних нулів, то її визначник = 0. 2) якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) матриці помножити на число ?, то її визначник множиться на це число. 3) При транспонировании матриці її визначник не змінюється | A/| = | A |. 4) при перестановці двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак на протилежний. 5) якщо квадратна матриця містить дві однакові рядки (шпальти), то її визначник = 0. 6) якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то її визначник дорівнює 0. 7) сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на алгебраічскіе доповнення елементів ін рядки (шпальти) цієї матриці дорівнює 0. 8) визначник матриці не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці додати елементи ін рядки (шпальти), попередньо помножені на одне і теж число. 9) Сума творів довільних чисел на алгебраїчні доповнення елементів будь-якого рядка (стовпця) = определителю матриці, отриманої з даної заміною елементів цього рядка (стовпця) на числа b1, b2, ..., Bn. 10) визначник добутку двох квадратних матриць = добутку їх визначників.

б)визначник п-го порядку = сумі твори елементів якого-небудь рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення. ? = аi1Ai1+ ai2Ai2+ ... + AinAin. -разложеніе по рядку. ? = aijA1j+ a2jA2j+ ... + AnjAnj- Розкладання по стовпцю.

№3. а) Квадратна матриця і її визначник. б) Особлива і неособлива квадратні матриці. в) Приєднана матриця. г) Матриця, зворотна даної, і алгоритм її обчислення.

а)Якщо кількість рядків = кол-ву стовпців, то така матриця зв квадратної розміром m ? m (матриця порядку m). Поняття визначник пріміняется тільки для квадратних матриць, detA, (А), ?. Визначником кв матриці А наз число, кіт обчислюється по слід правилам: 1) А = (а11) DetA = а11. 2) А = (а11а12) DetA = а11а2212а21.

21а22)

3) А = (а11а12а13)

21а22а23)

31а32а33)

Для 3) правилом ? (Саррюс). detA = а11а22а33+ а13а21а32+ а31а12а2331а22а1311а32а2333а21а12.

4) Визначник п-го порядку - сумі твори елементів якого-небудь рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення. ? = аi1Ai1+ ai2Ai2+ ... + AinAin. -разложеніе по рядку. ? = aijA1j+ a2jA2j+ ... + AnjAnj- Розкладання по стовпцю. аij=(-1)i+jMij- Алгеброіческое доповнення.

в, г)Нехай матриця А-кв. матриця А-1-наз зворотного до матриці А, якщо виконується ум: А-1А = АА-1= Е. Марііца зв невиражденной, якщо її визначник НЕ = 0, в протівнос випадку матриця-виражденная. Теорема (необхідна і достатня ум ім оберненої матриці):Зворотній матриця А-1сущ єдино тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця невиражденная і обчислюється за формулою А-1= 1 / detA ? А~, А~-приєднання матриця сост з алгебраїчних доповнень транспонованою матриці

А~= (А11А21... ап1/ А12А22... ап2/.../А1пА2п... апп). Схема обчислення обр матриці:

1) обчислюємо визначник матриці. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця вироджена і оберненої матриці не ім. Якщо detA НЕ = 0, то: 2) обчислюємо алгебраїчні доповнення та складаємо приєднану матрицю А~. 3) Складаємо зворотну матрицю за формулою: А-1= 1 / detA ? А~. 4) Виконуємо перевірку: А-1А = Е.

№8. а) Система т лінійних рівнянь з п змінними (загальний вигляд). б) Матрична форма запису такої системи. в) Рішення системи (визначення). г) Спільні і несумісні, визначені та невизначені системи лінійних рівнянь.

а)система т лінійних ур-ний з п змінними має вид:

11х1+ а12х2+ а13х3+ ... + А1пхп= b1

21х1+ а22х2+ а23х3+ ... + А2пхп= b2

{...

{ ат1х1+ат2х2+ат3х3+ ... + Атпхп= bт

б) Систему Ур-ний ^ можна записати в матричній формі: А- матриця системи сост з коефіцієнтів при невідомих. Х-матриця невідомих, В-матриця-стовпець вільних членів.

11 а12 а13 ... а1п) (Х1) (B1)

А = (а21 а22 а23 ... а2п) Х = (х2) В = (b2)

(...) (...) (...)

( ат1 ат2 ат3... атп) (Хп) (Bn)

Система ур-ня в матричної формі має вигляд Ах = В.

в)рішенням системи наз така сукупність п чисел (х1= до1,х2= до2,..., Хп= доп), При підстановці кіт кожне ур-ня системи звертається у вірне рівність.

г)Система ур-ний зв спільної,якщо вона має хоча б одне рішення, несумісною, якщо не має рішень. Спільна система ур-ний зв певної, Якщо має од рішення, і невизначеною,якщо має більш 1 рішення.

№9. а) метод Гаусса рішення системи п-лінійних ур-ний з п змінними. б) Поняття про метод Жордана-Гаусса.

а)Метод послідовного виключення змінних полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень рядків і перестановок стовпців вихідна система ур-ний приводиться до еквівалентної системі ступеневої або трикутного виду, з кіт послідовно знаходяться всі невідомі змінні. Обчислення зручно проводити не з самими рівняннями, а з матрицями їх коефіцієнтів.

№10. Рішення систем п лінійних рівнянь з п змінними за допомогою оберненої матриці (висновок формули Х = А-1В.

Рассм систему лінійних ур-ний складається з п-ур-ний і п невідомих:

11х1+ а12х2+ а13х3+ ... + А1пхп= b1

21х1+ а22х2+ а23х3+ ... + А2пхп= b2

{...

{ ап1х1+ап2х2+аП3х3+ ... + Аппхп= bп

Якщо матриця системи невироджених (detA ? 0), то систему можна вирішити: 1) матричні способом (метод зворотної матриці), 2) За правилом Крамера, 3) методом Гаусса. Рассм 1 метод: Дана система в матричної формі має вигляд Ах = В, де А-матриця системи. Х-матриця невідомих, В-матриця-стовпець вільних членів.

11 а12 а13 ... а1п) (Х1) (B1)

А = (а21 а22 а23 ... а2п) Х = (х2) В = (b2)

(...) (...) (...)

( ап 1 ап2 аП3... апп) (Хп) (Bn)

Т до detA ? 0, то сущ. зворотна матриця А-1: А-1(АХ) = А-1В; А-1(АХ) = (А-1А) Х = ЕХ = Х; Х = А-1В

№16. а) Загальна ур-ня прямої на площині, його дослідження. б) Умови || і +прямих.

а)Запишемо ур-ня прямої з к = 1: у = KХ + b; -kx + y-b = 0; -kx > Ax, y > By.-b > C; Ax + By + C = 0-ур-ня прямої.Приватні випадок ур-ня Ах + Ву + С = 0: 1) А = 0, слідів. Ву + С = 0, В, з-const. у = С / В. пряма || осі ОХ. А = С = 0, слідів. у = 0-пряма збігається з віссю ОХ.

2) В = 0, слідів. Ах + С = 0, А, с- const. Х = С / А. А ? 0. пряма || осі ОУ. В = С = 0, слідів. х = 0 пряма збігається з віссю ОУ.

3) З = 0, слідів. Ах + Ву = 0. у = -А / В ? х-пряма проходить ч / з початок координат.

б)1. Якщо пряма L1|| L2, Слідів. ? = 0, tg ? = 0, слідів. k1 =k2-умова || двох прямих.

2. L1+ L2, Тоді ? = ? / 2, слідів. tg ? / 2-невизначений. сtg ? / 2 = 0, слідів. сtg? = 1 / tg? = (1 + k1k2) / (K2- k1). сtg? = 0, слідів. 1 + k1k2= 0, k1k2= -1-Умова + двох прямих.

№19. а) Нескінченно мала величина (визначення). б) Св-ва нескінченно малих (1 док-ть)

а)Функція L (х) наз нескінченно малої величиною при х > хо, Або при х > ?, якщо її межа = 0. Lim х > хо (?)L (х) = 0.

б)Св-ва: 1) Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала. 2) Твір нескінченно малої величини на обмежену ф-цію (постійну, нескінченно малу) є величина нескінченно мала. 3) Частка від ділення нескінченно малої величини на ф-цію, межа кіт відрізняється від 0, є величина нескінченно мала.

доведемо 1оПо ум L (х) і в (х) -нескінченно малі при х > хо,слідів. для будь-якого Е/= Е / 2> 0, знайдуться ?1> 0, ?2> 0, що для всіх х ? хо і які відповідають умовам: | х-хо| 1 і | х-хо| 2 виконуються відповідно нерівності | L (х) | 1;?2}, То нерівності | х-хо| о| 1 і | х-хо| 2, слідів. нерівності | L (х) | 0 сущ таке ?> 0, що для всіх і х ? хо і | х-хо|

№20. а) Нескінченно велика величина (визначення). б) Зв'язок нескінченно малих величин з нескінченно великими.

а)Ф-ція f (x) наз нескінченно великий величиною при х > хо, якщо для будь-якого, навіть як завгодно великого позитивного числа М> 0, знайдеться таке позитивне число ?> 0 (залежне від М, ? = ? (М)), що для всіх х ? хо і задовольняють умові | x-хо| М. Записується, як lim х > хо f (x) = ? або f (x) > ? при х > хо.

б) теорема: Якщо ф-ція L (х) є нескінченно мала величина при х > хо(Х > ?), то ф-ція f (x) = 1 / L (х) явл нескінченно великою при х > хо(Х > ?). І назад, якщо ф-ція f (x) нескінченно велика при х > хо(Х > ?), то ф-ція f (x) = 1 / L (х) є величина нескінченно мала при х > хо(Х > ?).

№21. а) Другий чудовий межа, число е. б) Поняття про натуральні логарифми.

а) е = limп> ?(1 + 1 /п)п. Числом е (другим чудовим межею) називається межа числової послідовності е = limп> ?(1 + 1 /п)п , Е =2,718231 ... е-ірраціональне число.

б) Число е (число Ейлера, неперово число) грає дуже важливу роль в матіматіческом аналізі. Широко використовуються логарифми по підставі е, наз натуральними. Позначаються символом ln: logex = lnx.

№22. а) Межі ф-ций. Розкриття невизначеностей різних видів. Б) Правило Лопіталя.

а) [0/0] 1. {Необхідно чисельник і знаменник розкласти на найпростіші множники}, 2. {Необхідно для ірраціональних ур-ний знайти поєднане ур-ня і помножити і розділити частини на поєднане ур-ня}. [? / ?] {необхідно в чисельнику і знаменнику винести змінну з максимальним ступенем}. [?-?] 1. {Помножимо і розділимо вираження в дужках на поєднане вираз для ірраціо ур-ний}, 2 {привести до спільного знаменателюожім і розділимо вираження в дужках на поєднане вираз для ірраціо ур-ьюмволом ліз. ) Є величина нескінченно мала. }. [1?] {Розкривається за допомогою другого чудового межі} limп> про(1+п)1 /п= Е.

б)Правило Лопіталя: Теорема: Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих ф-ций = межі відносини їх похідних (кінцевому або нескінченному), якщо останній сущ в зазначеному сенсі. Виконується для невизначеностей виду [0/0] і [? / ?]. {Необхідно знайти похідну окремо чисельника і окремо знаменника.}

№27. а) Формули похідних основних елементарних ф-цій (одну з них вивести). б) Похідна складної ф-ції.

а)1) З/= 0; 2) Х/= 1; 3) (хп)/= пхп-1; 4) (х1/2)/= 1 / 2х1/2; 5) (ах)/= ахlna; 6) (ех)/= ех; 7) (logx)/= 1 / хlna; 8) (lnх)/= 1 / х; 9) (sinx)/= Cosx; 10) (cosx)/= -sinx; 11) (tgx)/= 1 / cos2x; 12) (сtgx)/= -1 / Sin2x; 13) (arcsinx) = 1 / (1-х2)1/2; 14) (arctgx)/= 1 / (1 + х2); 15) (arccosx)/= 1 / (1-х2)1/2; 16) (arcсtgx)/= -1 / (1 + х2); 17) (lgx)/= 1 / xln10.

Доведемо що (хп)/= пхп-1: 1)Дамо аргументу х приріст ?х ? 0 і знайдемо розширене значення ф-ції у + ?у = (х + ?х)п ; 2) Знаходимо приріст ф-ції ?у = (х + ?х)п- хп= хп+ пхп-1?х + пх?хп-1+пп=?х (пхп-1+ пх?х +п-1). 3) Складемо ставлення ?у / ?х = пхп-1+ пх?х +п-1

4) знайдемо межа у/= lim?x> 0?у / ?х = lim?x> 0(пхп-1+ пх?х +п-1) = Nxn-1.

б)теорема: Нехай ф-ція у = f (x) - складна ф-ція, де и= ? (х), тоді, якщо ф-ції f (і), ? (х) явл диференційовними ф-ми, то похідна складної ф-ції по незалежній змінній х: у/х = f|і ? і/х. 1) (za)/= aza-1? • z/; 2) (z1/2)/= 1 / 2z1/2• z/; 3) (sinz)/= Cosz • z/; 4) (cosz)/= -sinz • z/; 5) (tgz)/= 1 / cos2z • z/; 6) (сtgz)/= -1 / Sin2z • z/.

№26 Основні правила диференціювання ф-ций однієї змінної (одне з них довести).

1) Похідна постійної дорівнює нулю З/= 0 (т до будь приріст постійної ф-ції у = С равно0. 2) Похідна аргументу = 1, т е х/= 1 (випливає з (хп)/= пхп-1 при п = 1).

У слід випадках будемо вважати, що і = і (х) і v = v (x) -діфференціруемие ф-ції. 3) Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа диференціюються ф-ций дорівнює такій же сумі похідних цих ф-цій (і + v)/= и/+ v/. 4) Похідна добутку двох диференційовних ф-ций дорівнює добутку похідної першого співмножники на другий плюс твори 1-го сомножителя на похідну 2-го, т е (иv)/= и /v + і v/.

1о Постійний множник можна виносити за знак похідної: (си)/= зи/. 2о Похідна твори кількох диференціюються ф-ций дорівнює сумі творів похідною кожного із співмножників на всі інші (uvw)/= u/vw + uv/w + uvw/. 5) Похідна приватного 2-х диференціюються ф-ций може бути знайдена за формулою: (u / v)/= (U/v- uv/) / V2.

Доведемо 4): нехай і = і (х) і v = v (x) -діфференціруемие ф-ції. знайдемо похідну ф-ції у = иv, ?х ? 0, нарощення для ф-ції и- і + ?і, для v- v + ?v, А ф-ція у- значення у + ?у =(І + ?і) (v + ?v). Знайдемо приріст: ?у =(І + ?і) (v + ?v) -uv = uv + ?іv + u?v + ?і?v-ІV = ?іv + u?v + ?і?v, Слідів. ?у / ?х= ?і / v + u?v / + (?і /?х) • ( ?v /?х) ?х. Знайдемо приділ цього зв'язку для ?х > 0, використовуючи теореми про границі: lim?х > 0?у / ?х= lim?х > 0?і / v + lim?х > 0 u?v / + lim?х > 0 (?і /?х) • lim?х > 0 ( ?v /?х) • lim?х > 0 ?х. На підставі визначення похідної отримали, що у/= и /v + і v/+и / v/• 0 або у/= и /v + і v/.

№29 Достатні ознаки монотонності ф-цій (один з них довести).

Теорема (достатня умова зростання ф-ції). Якщо похідна дифференцируемой ф-ції позитивна всередині певного проміжку Х, то вона зростає на цьому проміжку.

рассм х1 і х2 на даному проміжку Х. Нехай х2> х1,х1,х2єХ. Доведемо, що f (x2)> F (x1). для ф-ції f (x) на отрехке [x1; x2] Виконуються умови т. Лагранжа, тому f (x2) -f (X1) = F /(Е) (x2-x1), Де х1<Е> х2, т е Е є проміжку, на кіт похідна позитивна, слідів. f/(Е)> 0 і права частина рівності limx>xo(x> ?) f (x) / g (x) = limx>xo(x> ?) f/(X) / g/(X) - позитивна. f (x2) -f (X1)> 0 і f (x2)> F (x1).

Теорема (достатня ум убування ф-ції): Якщо похідна дифференцируемой ф-ції негативна всередині певного проміжку Х, то вона зменшується на цьому проміжку.

№31 Достатні ознаки існування екстремуму (довести одну з теорем).

1) Якщо при переході ч / з т. Хо похідна дифференцируемой ф-ції у = f (x) змінює свій знак з «+» на «-», то т. хо є точка максимуму ф-ції у = f (x), а якщо з «-» на «+», то -точка мінімуму.

Нехай похідна змінює знак з «+» на «-», т е в деякому інтервалі (а, хо) Похідна позитивна (f /(Х)> 0), а в деякому інтервалі (хо; B) - негативна (f /(Х) <0). Тоді відповідно до достатньою умовою монотонності ф-ція f (x) зростає на інтервалі (а; хо) І зменшується на (хо; B). За визна зростаючої ф-ції f (хо) ? f (х) при х є (а; хо), А по визна спадної ф-ції f (хо) ? f (х) при х є (хо; B), т е f (хо)> F (х) при всіх х є (а; b), слідів. т. хо- Точка максимуму ф-ції у = f (x). Аналогічно, коли похідна змінює знак з «-» на «+».

2) Якщо перша похідна f /(Х) двічі диференціюється ф-ції = 0 в деякій точці хо, А друга похідна в цій точці f //(Х) позитивна, то хо- Є точка мінімуму ф-ції f /(Х), якщо f //(Х)-негативних, то хо- Точка мінімуму.

№32 а) Поняття асимптоти графіка ф-ції. б) Горизонтальні, похилі і вертикальні асимптоти. в) Приклади.

а)асимптотой графіка ф-ції наз пряма, що володіє слід св-ми: при видаленні точки на графіку ф-ції від початку координат, відстань від цієї точки до прямої прямує до 0.

б)1) Пряма х = хо явл вертикальної асимптотой графіка ф-ії у = f (х), якщо хоча б один з односторонніх меж ф-ції при х > хо дорівнює ?: lim х > хо + -0 f(Х) = ?. (Мал.)

т. хо при цьому явл точкою розриву ф-ції.

2) Пряма у = b явл горизонтальної асимптотой ф-ції, якщо ф-ція визначена при досить великих значеннях х і сущ межа: lim х > ?f (х) = b. (Мал.)

3) Пряма y = kx + b явл похилій асимптотой ф-ії у = f (х), якщо ф-ія визначена при досить великих значеннях х і сущ кінцеві межі: k = limx> + -? f (х) / х; b = limx> ?[F (x) -kx]. (Мал.)

Горизонтальна асимптота явл окремим випадком похилої асимптоти при k = 0, тому у ф-ії в одному напрямку не може бути одночасно горизонтальній і похилій асимптот.

приклад: у = (2х2-1) / Х. 1) Положення по вертикалі. асимптоти х = 0; lim х > 0 + 0(2х2-1) / Х = -?; lim х > 0-0(2х2-1) / Х = ?; х = 0-вертик. асимптота. 2) похилі асимптоти y = kx + b; k = limx> + -? f (х) / х = limx> + -?(2х2-1) / Хх = [? / ?] = limx> + -?2(2-1 / г2) / Х2= 2; b = limx> ?[F (x) -kx] = limx> ?[(2х2-1) / Х-2х] = limx> ?(2х2-1-2х2) / Х = limx> ?(-1) / Х = 0. у = 2х + 0; у = 2х-похила асімтота. {Якщо k = 0, то горизонтальна асимптота}, {якщо виходить ?, то горизонтальних і вертикальних асимптот немає}.

№33 Загальна схема дослідження ф-ий і побудови їх графіків. Приклад.

1) Область визначення ф-ії, 2) дослідити на парність, непарність, 3) знайти асимптоти графіка, 4) Дослідити ф-цію на зростання і спадання та знайти екстремуми. 5) Знайти точки перетину з осями координат. 6) Побудувати графік ф-ції.

приклад: у = х2/ (1-х2). 1) 1-х2? 0, х ? ± 1, (-?; -1)V(-1; 1)V(1; + ?). 2) четная- симетрична щодо ОУ. 3) асимптоти: -вертикальні: х = -1 limx> -1-ox2/ (1-х2) = -?;

limx> -1 +ox2/ (1-х2) = + ?. Х = 1 limx> 1ox2/ (1-х2) = + ?; limx> 1 +ox2/ (1-х2) = -?; х = 1; х = -1-вертикальні асимптоти. похилі: y = kx + b; k = limx> + -? f (х) / х = limx> + -?2(1-х2) Х) = [? / ?] = limx> + -?(Х / х2(1 / х2-1) = 0; k = 0; b = limx> ?[F (x) -kx] = limx> ?2/ (1-х2)] = [? / ?] = 2х / (- 2) Х = -1 b = -1; y = -1 -горизонтальна асимптота. 4) у/= х2/ (1-х2) = (2х2(1-х2) + Х2(2х)) / (1-х2)2= 2х / (1-х2)2. у/= 0, у/- Не ім. 2х = 0, х = 0 , 1-х2= 0, х = ± 1. min (0; 0), 5) ОХ у = 0, х = 0; ОУ х = 0 у = 0.

6)

№34 а) Ф-ції кількох змінних. Приклади. б) Приватні похідні (визначення). в) Максимум ф-ції декількох змінних і його необхідна умова.

а) нехай є п змінних величин і кожного набору з значень (х1,х2,..., Хп) З деякого безлічі Х відповідає одне цілком певне значення змінної величини z. Тоді кажуть, що задана ф-ція декількох змінних z = f (x1, ..., Xn). Z = ?х12х2- Задає обсяг циліндра z як ф-цію 2-ух змінних: х1(Радіус підстави) і х2(Висоти). Z = а1х1 + а2х2+ ... + Апхп+ B, де а, ..., ап, b-постійні числа (лінійна ф-ція). Ф-ція Z = 1 / 2?пi,j= 1bijxixj (bij-постійні числа) називається квадратической.

б) Приватної похідною ф-ції декількох змінних по одній з цих змінних називається межа відносини відповідного приватного збільшення ф-ції до приросту даної незалежної змінної при прагненні останнього до 0 (якщо цю межу сущ) Z/x, f /х (х, у).

в) Точка м (хпро;уо) Називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ції z = f (x,у), якщо сущ околиця точки М, така, що для всіх точок (х; у) з цієї околиці виконується нерівність f (xo; yo) ?f (x; y) ((f (xo; yo) ?f (x; y)).

Необхідна умова екстремуму. Теорема: Нехай точка (xo; yo) - Є точка екстремуму диференціюється ф-ції z = f (x,у). Тоді приватні похідні f /х (xo; yo) І f /у (xo; yo) В цій точці = 0.

№35 а) Поняття про емпіричні формулах і методі найменших квадратів. б) Підбір параметрів лінійної ф-ції (висновок системи нормальних рівнянь).

а) Формули службовці для аналітичного подання досвідчених даних зв емпіричними формулами. суть методу найменших квадратів: Невідомі параметри ф-ції у = f (x) підбираються таким чином, щоб ? квадратів нев'язок була мінімальною. невязкую наз відхилення м / д теоретичними значеннями f (xi), Отриманих за формулою у = f (x) і емпіричними значеннями уi позначається ?i= F (xi) -уi.

б) Припустимо, що м / д х і у сущ лінійна залежність (х, у-змінні), т е у = ах + b. ? = ?пi= 1(ахi+ B-yi)2 повинна бути min. а, b-змінні; {S/а = 0, S/b = 0}; S/а = ?пi= 12 (ахi+ B-yi) (Хi) = 0, S/b = ?пi= 12 (ахi+ B-yi) 1 = 0; ?пi= 1(ахi+ B-yi) (Хi) = 0, ?п0 = 1(ахi+ B-yi) = 0; {?пi= 1ахi+ ?пi= 1b хi-?пi= 1yiхi= 0; ?п0 = 1ахi+ ?п0 = 1b-?п0 = 1yi) = 0}; і {а?хi2+ b?хi= ?yiхi; a?хi+ Nb = ?yi}.

№36 а) Диференціал ф-ції і його геометричний сенс. б) Инвариантность форми диференціала 1-го порядку.

а)Диференціалом ф-ції наз головна лінійна щодо ?х частина приросту ф-ції дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної (позначається dy- головна лінійна частина) dy = f (x) ?х (1). Диференціал незалежної змінної х дорівнює приросту цієї змінної, тоді формулу (1) можна записати як dy = f/(X) d х. З геометричної точки зору диференціал ф-ії є приріст ординати дотичної, проведеної до графіка ф-ції у = f (x) в даній точці, коли х бере зріст ?х.

Рассм графік ф-ії у = f (x):

т. м -довільний, /(Х) ?х; ?у = f /(Х) ?х + ВК.

б)Інваріантність (незмінність) формули диференціала: Якщо ф-ція у = f (х), слідів. dy = f/(X) d х. розглянути складну ф-цію у = f (u), де u = ? (х). Знайдемо похідну ф-ції. у/х = f /u • u/х | • d х; у/х d х = f /u • u/х d х; dу = f /u • du. Т про видно, що формула диференціала не зміниться, якщо замість ф-ції від незалежної змінної Х розглядати ф-цію від залежної змінної u.

№52 а) Знакозмінні ряди. б) Ознака Лейбнмца збіжності Знакозмінні рядів. в) Абсолютна і умовна збіжність рядів.

а) під Знакозмінні поруч розуміється ряд, в якому члени поперемінно то позитивні, то негативні: и1234+ ... + (- 1)п-1ип+ ..., де ип> 0.

б)Теорема (Ознака Лейбніца). Якщо члени Знакозмінні ряду зменшуються за абсолютною величиною и1 > і2> ...> Un> ...і межа його загального члена при п> ? дорівнює 0, т е limun= 0, то ряд сходиться, а його сума не перевищує першого члена: S?u1.

в) ряд зв абсолютно збіжним, якщо сходяться як сам ряд, так і ряд, складений з абсолютних величин його членів. ряд зв умовно збіжним, якщо сам ряд сходиться, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розходиться.

№14 а) Поняття елементарної ф-ції. б) Основні елементарні ф-ії і їх графіки (постійна, статечна, показова, логарифмічна).

а)Ф-ції, побудовані з основних елементарних ф-ий за допомогою кінцевого числа алгебраїчних дій і кінцевого числа операцій утворення складної ф-ції, наз елементарними.

б)1)Постійна: у = b (b || OX) (рис.)

2)статечна: А) у = хп, П -натуральне число. Для п-парного (Рис у = х2, У = х4): 1-D (f) = (- ?; + ?); 2-е (f) = [0; + ?); 3 (-?; 0) -убивает, (0; + ?) -возрастает; 4-парні; 5 неперіодичні. Для п-непарного(Рис у = х, у = х3, У = х5): 1 D (f) = (- ?; + ?); 2-е (f) = (- ?; + ?); 3- (-?; + ?) -возрастает; 4 непарні; 5 неперіодичних. Б) у = 1 / хп, п- натуральне число. Для п-парного (Рис у = 1 / х2, У = 1 / х4); 1-D (f) = (- ?; 0) V (0; + ?); 2-е (f) = [0; + ?); 3 (-?; 0) - зростає, (0; + ?) - убуває; 4-парні; 5 неперіодичні. Для п-непарного(Рис у = 1 / х): 1 D (f) = (- ?; 0) V (0; + ?); 2-е (f) = (-?; 0) V (0; + ?); 3 - (- ?; 0), (0; + ?) -убивает; 4 непарні; 5 неперіодичних. В) у = х1 /п. Для п-парного (Рис у = х1/2). 1-D (f) = [0; + ?); 2-е (f) = [0; + ?); 3 (0; + ?) -возрастает; 4-загального вигляду; 5 неперіодичні. Для п-непарного(Рис у = х1/3): 1 D (f) = (- ?; + ?); 2-е (f) = (- ?; + ?); 3- (-?; + ?) -возрастает; 4 непарні; 5 неперіодичних.3)показова: у = ах (А> 0; a ? 1). Для а> 1 (рис): 1-D (f) = (- ?; + ?); 2-е (f) = (0; + ?); 3 (-?; + ?) -возрастает; 4-загального вигляду; 5 неперіодичні. Для 0  1 D (f) = (- ?; + ?); 2-е (f) = (0; + ?); 3- (-?; + ?) -убивает; 4 загального вигляду; 5 неперіодичних. 4)логарифмічна: (А> 0; a ? 1). У = logax. Для а> 1 (рис): 1-D (f) = (0; + ?); 2-е (f) = (- ?; + ?); 3 (0; + ?) -возрастает; 4-загального вигляду; 5 неперіодичні. Для 0  1 D (f) = (0; + ?); 2-е (f) = (- ?; + ?); 3- (0; + ?) -убивает; 4 загального вигляду; 5 неперіодичних.

№23 а) Безперервність ф-ії в точці і на проміжку. б) Св-ва ф-ций, безперервних на відрізку. в) Точки розриву. г) Приклади.

а)Функція у = f (х) наз безперервної в точці хо, Якщо вона задовольняє слід умовам: 1) Визначено в точці хо, Т е ім f (хо), 2) ім кінцеві односторонні межі ф-ії при х > хо зліва і справа. 3) Ці межі дорівнюють значенню ф-ії в точці f (хо) = Limx>xo-o f (х) = limx>xo+o f (х). Ф-ія у = f (х) наз безперервної на проміжку Х, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

б) 1о Якщо ф-ія у = f (х) неперервна на відрізку [a; b], то вона обмежена на цьому відрізку. (Мал.) 2о Якщо ф-ія у = f (х) неперервна на відрізку [a; b], то вона досягає на цьому відрізку найменшого значення т і найменшого М. (рис). 3о Якщо ф-ія у = f (х) неперервна на відрізку [a; b] і значення її на кінцях відрізка f (а) і f (b) мають протилежні знаки, то всередині відрізка знайдеться т. Е є (a; b) така, що f (Е) = 0. (Мал).

в) Якщо в будь-якій точці хо для ф-ії у = f (х) не виконується принаймні одна з умов безперервності, то точка хо наз точкою розриву ф-ії, причому 1) Якщо сущ кінцеві односторонні межі ф-ії, нерівні ін одного, т е limx>xo-o f (х) ? limx>xo+o f (х), то точка хо наз точкою розриву 1-го роду. 2) Якщо хоча б один з односторонніх меж ф-ії = ? або несущ: limx>xo-o f (х) = ?, limx>xo+o f (х) = ?, то точка хо наз точкою розриву 2-го роду.

г) Приклад: Дослідити ф-цію на безперервність, встановити характер точок розриву. У = х / (х-1) х = 1 1) f (1) -невизначеність, 2) limx> 1o х / (х-1) = -?, limx> 1 +o х / (х-1) = + ?,

х = 1- Точка розриву 2-го рада.

№28 Теорема Ролля і Лагранжа (без док-ва). Геометрична інтерпретація цих теорем.

Теорема Роля: Нехай ф-ія у = f (х) задовольняє слід умовам: 1) безперервна на відрізку [a; b], 2) диференційована на інтервалі (a; b), 3) на кінцях відрізка приймає рівні значення f (а) = f (b), тоді всередині відрізка ім принаймні одна точка С є (a; b), похідна в кіт = 0, f /(С) = 0.Рассм геометричний сенс теореми: Теорема Роля стверджує, що якщо ф-ція задовольняє всім зазначеним умовам, то всередині інтервалу знайдеться хотиби одна точка С (в нашому сл їх 3-С1, з2, з3), Дотична до графіка в цій точці буде паралельна осі ОХ.

Теорема Лагранжа: Нехай ф-ія у = f (х) задовольняє слід твердженнями: 1) безперервна на відрізку [a; b], 2) диференційована на інтервалі (a; b), то тоді всередині інтервалу (a; b) сущ принаймні одна точка С є (a; b), похідна ф-ії в кіт = відношенню приросту ф-ії на цьому інтервалі до приросту аргументу f /(С) = (f (b) - f (с)) / (b-с). Рассм геометричний сенс теореми:Теорема Лагранжа стверджує, що в інтервалі (a; b) знайдеться принаймні одна точка С така, що дотична проведена до графіка ф-ії в цій точці буде || прямий АВ, що з'єднує кінці графіка ф-ії на отр АВ.

№24 а) Похідна та її геометричний зміст. б) Рівняння дотичної до площини кривої в заданій точці.

а)Похідною ф-ії у = f (х) наз границя відношення приросту ф-ції ?у до приросту аргументу ?х за умови, що ?х > 0: у/= lim?х > 0?у / ?х .. геометричний сенс похідною ф-ії в точці: похідна ф-ії в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка ф-ії в цій точці. k = f /о).

б)у-уо= f / хо (хо) (Х-хо) - Рівняння дотичної.

№25 а) Диференційовність ф-ції однієї змінної. б) Зв'язок м / д дифференцируемого і безперервністю ф-ії (довести теорему).

б)теорема: Якщо ф-ія у = f (х) диференційовна в точці хо, То вона в цій точці неперервна.

За ум ф-ія у = f (х) диференційовна в точці хо, т е ім кінцевий межа lim?х > 0?у / ?х = f /о), Де f /о) Постійна величина, яка не залежить від ?х. Тоді на підставі теореми про зв'язок нескінченно малих з межами ф-ий можна записати: ?у / ?х = f /о) + L (?х), де L (?х) - нескінченно мала величина при ?х > 0 або ?у = f /о) ?х + L (?х) ?х. При ?х > 0 на підставі св-в нескінченно малих встановлюємо, що ?у > 0 і слідів по визна ф-ія у = f (х) в точці хо явл безперервної. Зворотній теорема не вірна. Т про непереривность ф-ії необхідне, але не достатнє ум дифференцируемости ф-ії.

№37 а) Поняття первісної ф-ції. б) Невизначений інтеграл та його св-ва (одне довести).

а) Ф-ія F (x) наз первообразной ф-ией для ф-ії f (х) на інтервалі Х, якщо в кожній точці цього інтервалу F/ (X) = f (х).

б) сукупність всіх первісних ф-ції f (х) на проміжку Х наз неопред інтегралом від ф-ії f (х). Позначається ? f (х) dx = F (x) + C, (х) -подинтегральная ф-ія. f (х) dx-підінтегральний вираз, dx-диференціал змінної інтегрування. Св-ва: 1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної ф-ії (? f (х) dx)/= F (х). Диференціюю ліву і праву частини рівності, отримуємо: (? f (х) dx)/= (F (x) + C)/= F/ (X) + C/= F (х). 2) диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом. d (? f (х) dx) = f (х) dx. 3) Невизначений інтеграл від диференціала деякої ф-ії дорівнює цієї ф-ії з точністю до постійного доданка ? d F (x) = F (x) + С. 4) Постійний множник можна виносити за знак інтеграла: ?С f (х) dx = С ?f (х) dx; 5) Інтеграл від суми (різниці) ф-ий дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих ф-ий: ? (f (х) + - g (х)) dx = ?f (х) dx + - ?g (х ) dx.

№38 Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі і особливості застосування цього методу при обчисленні визначеного інтеграла.

Нехай заданий інтеграл ? f (х) dx- не може бути безпосередньо перетворений до табличного інтегралу. Введемо нову змінну t слід чином: х = ? (t). Dx = ?/(T) dt. ? f (х) dx = ? f [? (t)] ?/ (T) dt = ? ? (t) dt-формула заміни змінної в неопред інтеграл.

Нехай ф-ія х = ? (t) має неперервну похідну на відрізку [L; B], причому а = ? (L), b = ? (B). А дана ф-ія f (х) не безперервно в кожній точці х, де х = ? (t), тоді справедлива слід формула: ?ba f (х) dx = ?ba f [? (t)] ?/ (T) dt- формула заміни змінної в певному інтегралі.

№41 а) Теорема про похідну певного інтеграла по змінному верхньої межі. б) ТФормула Ньютона-Лейбніца.

а)теорема: Нехай ф-ія f (х) неперервна на відрізку [a; b], тоді в каждо точці х відрізка [a; b] похідна ф-ії ф (х) по змінному верхній межі дорівнює підінтегральної ф-ії f (х), т е Ф/(Х) = (?хаf (t) dt) = f (x).

б) Нехай ф-ія у = f (х) неперервна на відрізку [a; b], F (x)-яка первісна для ф-ії f (х) на відрізку [a; b], тоді визначений інтеграл від ф-ії f (х) на отр [a; b] дорівнює приросту первісної F (x) на цьому відрізку: ?baf (x) dx = F (b) -F (a) = F (x) |ba.-Формула Ньютона-Лейбніца.

№42 а) Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування. б) Інтеграл Пуассона (без док-ва)

а) Невласних інтегралом з нескінченним верхнім переділом ?+ ?а f (x) dx від ф-ії f (x) наз межа інтеграла ?tа f (x) dx, t > + ?, ?+ ?а f (x) dx = limt> + ? ?tа f (x) dx. Якщо ця межа сущ або дорівнює кінцевому числу, то інтеграл зв сходящимся, А іншому разі розходяться. аналогічно: Невласний інтеграл з нижнім нескінченним межею: ?b-? f (x) dx = limt> -? ?bt f (x) dx.

№43 обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла. Приклади.

1) Нехай ф-ія у = f (x) невизначена і неотрицательна на отр [a; b], тоді згідно геометричному змістом певного інтеграла S криволінійної трапеції, обмеженої кривою у = f (x), віссю ОХ, зліва прямий х = а , праворуч прямий х = b чисельно дорівнює визна інтегралу від ф-ії f (x) на відрізку [a; b]. S = ?baf (x) dx. (Мал).

2) Якщо ф-ія у = f (x) непозитивним на отр [a; b], то S над кривою у = f (x) обчислюється за формулою: S = -?baf (x) dx. (Мал).

3) Нехай плоска область обмежена зверху ф-ией у = f (x), знизу ф-ией у = g (x), ліворуч і праворуч прямими х = а, х = b, тоді її S обчислюється за формулою: S = ?ba[F (x) -g (x)] dx. (Мал).

 приклад: Обчислити площу фігури обмеженою лініями у = -х2, У = е, Х = 0, х = 1. (Мал). S = ?1o(e2x+ x2) Dx = ?1oe2xdx + ?1ox2dx = | 2x = t, 2dt = dt, x = 0 t = 0, x = 1 t = 2 | = 1 / 2?20etdt + x3/ 3 |1o= 1/2 et|2o+ 1/3 = 1/2 (e2-eo) + 1/3 = e2/ 2-1 / 6 (кв. Од).

№45 а) Поняття про диференціальному рівнянні. б) Загальна та приватна рішення. в) Завдання Коші. г) Завдання про побудову матеметіческой моделі демографічного процесу.

а)диференціальним рівнянням наз рівняння, що зв'язує шукану ф-цію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків донної ф-ії.

б)спільним рішенням диференціального ур-ня g (x, y, y/, ..., Y(n)) = 0 n-го порядку наз таке його рішення у = ? (х, з1, ...,сп), Кіт явл ф-ией змінної х і довільних незалежних постійних С1,С2, ..., Зп. (Незалежність постійних означає відсутність будь-яких співвідношень м / д ними). приватним рішенням диференціального ур-ня зв рішення, що отримується із загального рішення при деяких конкретних числових значеннях постійних С1,С2, ..., Зп.

№47 Однорідні і лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку та їх вирішення. Приклади.

однорідні: у/= F (y / x). Рішення: Виконуємо заміну у =и(Х) Х. у/=и/х + х/і = і/х + і. и/х + і = f (їх / г).Отримали рівняння з розділяють змінними: и/х = f (і) І. хdі / г = f (і) -і. приклад: (Ху-х2) У/= у2-уравненіе з розділяють змінними у/= у2/ (Ху-х2) = У2/ г2(У / г-1) = (у / г)2/ (У / г-1) -однородное рівняння. и/х + і = f (їх / г) = (їх / г)2/ (Їх / г-1); і/х + і = і2/ (І-1); dи / dx • х = (і2/ (І-1)) - і; dи / dx • х = і / (і-1); dи • х = і (і-1) dx; (І-1) / і dи = d х / х; ? (і-1) / і dи = ? d х / х; ? (і-1) / і = ?і / і-?1 / і = і-ln | і |; і = ln | u | + C = lnx; u = ln | u | + ln | x | + ln | C |; u = ln | cux |; y | x = ln | c • y / x • x |; y / x = ln | cy |; y = xln | cy |.

лінійні: у/+ Р (х) У = Q (x). Рішення: Заміна у = u (x) • v (x) або y = uv. y/= u/v + v/u, y = u (x) v (x). u (v/+ P (x) v) + u/v = Q (x). Нехай {v/+ P (x) v = 0; u/v = Q (x)}. Кожне рівняння системи явл диференціальним рівнянням з розділяють змінними. Вирішуємо їх і записуємо загальне рішення, як у = u v. приклад: у/-2у = Е, У = u (x) • v (x), y/= u/v + v/u, u/v + v/u-2 uv = е; u (v/-2v) + U/v = e2x; {u/-2v = 0, u/v = e2x}; dv / dx = 2v; dv = 2vdx; dv / v = 2dx; ?dv / v = 2?dx; ln | v | = 2x + C (C = 0); v = e2x. u/v = e2x; u/e2x= e2x; u/= 1; du / dx = 1; du = dx; ?du = ?dx; u = x + C; y = uv = (x + C) e2x-загальне рішення.

№48 а) Визначення числового ряду. б) Збіжність числового ряду. в) Необхідна ознака збіжності рядів (довести). Приклади.

а)числовим рядом наз нескінченна послідовність чисел и1,и2, ...,ип, ..., з'єднаних знаком складання. и1+и2 + ... +ип... = ??п = 1ип,, і1+и2 + ... +ип...-члени ряду, ип-загальний або п-ий член ряду.

б)ряд зв сходящимся, Якщо сущ кінцевий межа послідовності його часткових сум, т е limn> ?Sn= S. Число S- сума ряду. У цьому сенсі можна записати и1+и2 + ... +ип+ ... = ??п = 1ип= S.

в)Теорема (необхідна ознака збіжності). Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена ип при п> ? дорівнює нулю, т е lim п> ?un= 0. висловимо п-ий член ряду ч / з суму його п и (П-1) членів, т е ип= Sn-Sn-1. Т до рядсходітся, то lim п> ? Sn=S і lim п> ?Sn-1= S, слідів. lim п> ?un= lim п> ? (Sn- Sn-1) = Lim п> ? Sn- lim п> ?Sn-1= S-S = 0.

приклад: ??п = 1(4n + 3) / (5n-7); lim п> ?un= lim п> ?(4n + 3) / (5n-7) = 4/5 ? 0, т е ряд розходиться.

№15 а) Рівняння лінії на площині. б) Точка перетину двох ліній. в) Огсновние види рівнянь прямої на площині (одне з них вивести).

а) Рівнянням лінії на площині Оху зв рівняння, кіт задовольняють координати х і у кожної точки даної лінії і не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій прямій.

б) Нехай дано дві прямі А1х + В1у + С1= 0 і А2х + В2у + С2= 0. Очевидно, координати їх точки перетину повинні задовольняти рівняння кожної прямої, т е вони можуть бути знайдені з системи: {А1х + В1у + С1= 0; А2х + В2у + С2= 0}. Якщо прямі не паралельні, т е А1/ А2? В1/ В2, То рішення системи дає од точку перетину прямих.

№30 а) Визначення екстремуму ф-ії однієї змінної. б) Необхідна ознака екстремуму (довести).

а)екстремумами наз точки максимуму і мінімуму. точка хо наз точкою максимуму ф-ії f (x), якщо в деякій околиці т. хо виконується нерівність f (x) ?f (xo). точка х1 наз точкою мінімуму ф-ії f (x), якщо в деякій околиці т. х1 виконується нерівність f (x) ?f (x1).

б)Необхідна умова екстремуму: Для того щоб ф-ія у = f (x) мала екстремум в точці хо, Необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю (f /(xo) = 0) або не існувало.

№50 Ознаки порівняння Доламбера збіжності знакоположітельних рядів. Приклади.

Теорема. Нехай для ряду ??п = 1ипз позитивними членами ім межа відносини (п+1) -го Члена до п-му члену limn> ?(un+1) / Un= L. Тоді, якщо l <1, то ряд сходиться, якщо l> 1, то розходиться, якщо l = 1, то питання залишається невирішеним. приклади: а) ? + 2/22+ ... +п / 2п+ ..., Т до limn> ?(un+1) / Un= limn> ?((п+1) / (2п + 1))п / 2п= limn> ?(п+1) /2п= 1/2 <1, то за ознакою Даламбера ряд сходиться. б) ??п = 13пп!/ пп, т кlimn> ?(un+1) / Un= limn> ?(3п + 1(П + 1)! / (П + 1)п + 1) / (3пп! /пп)= limn> ?(3п / (п + 1))п= 3 / ( limn> ?(п / (п + 1))п= 3 / е> 1-розходиться.

№51 Інтегральний ознака збіжності знакоположітельних рядів. Приклад.

теорема: Нехай дано ряд ??п = 1ип,члени кіт позитивні і не зростають, т е u1?u2 ? ... ?un? ..., а ф-ія f (x), визначена під час х?1, безперервна і незростаюча і f (1) = u1, F (2) = u2, ..., F (n) = un, ..., Тоді для збіжності ряду ??п = 1ип необхідно і достатньо, щоб сходився невласний інтеграл ??1f (x) dx. приклад: ??п = 11 / п2. Нехай f (x) = 1 / x2. Функція f (x) при х> 0 (а значить і при х?1) позитивна і незростаюча (точніше спадна). Тому збіжність ряду рівносильна збіжності невласного інтеграла ??1dx / г2, Слідів. I = ??1dx / x2= limb> ??b1 dx / x2. Якщо L = 1, То I = limb> ?(Ln | x ||b1) = Limb> ?(Ln | b | -ln1) = ?. якщо L ? 1, то I = limb> ?((X -L+1) / (- L + 1) |b1) = 1 / (1-L) limb> ?(b1L-1) = {1 | (L-1) при L> 1; ? при L <1} -ряд сходиться при L> 1 і розходиться при L ?1.

№17 а) Межа послідовності при п > ? і межа ф-ії при х > ?. б) Ознаки існування границі (з доведенням теореми про межі проміжної ф-ії).

а)Число А наз межею Чілова послідовності {an}, Якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого позитивного числа ?> 0, знайдеться такий номер N (залежить від ?, N = N (?)), що для всіх членів послідовності з номерами n> N вірно нерівність | an-A | n> ?an= A або an> ? при n > ?. Послідовність, що має межу, наз сходящейся, в іншому випадку-розходиться. Число А наз межею ф-ії у = f (x) при х > ?, якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного числа Е знайдеться таке позитивне число М = 0, що для всіх х задовольняють рівності | x |> M виконується нерівність | f (x) -A | < E. при цьому говорять, що A = limx> ?f (x).

б)Теорема1: Якщо числова послідовність {an} Монотонна і обмежена, то вона має межу. Теорема2: Якщо в деякому околі точки хо (Або при досить великих значеннях х) ф-ія f (x) укладена м / д двома ф-ями ? (х) і ? (х), що мають однаковий межа А при х > хо (Або х > ?), то ф-ія f (x) має той же межа А. Нехай при х > хо lim х > хо ? (х) = А, lim х > хо ? (х) = А. Це означає, що для будь-якого ?> 0 знайдеться таке число ?> 0, сто для всіх х ? хо і задовольняють умові | x-xo| x> хоf (x) = А.

№18 а) Визначення меж ф-ії в точці. б) Основні теореми про границі (одну довести).

а)Число А наз пределоф ф-ії f (x) при х > хо (Або в точці хо), якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого позитивного числа ?> 0, знайдеться таке позитивне число ?> 0 (залежне від ?, ? = ? (?)), що для всіх х ? хо і задовольняють умові | x-xo| x>xof (x) = A або f (x) > A при x > xо.

б) 1) Ф-ія не може мати більше одного межі. Док-во: Припустимо гидке, т е що ф-ія f (x) має дві межі А і D, A ? D. Тоді на підставі теореми про зв'язок нескінченно малих величин з межами ф-ий відповідно до формули f (x) = A + ? (x), f (x) = D + ? (x), де ? (x), ? ( x) - нескінченно малі при x > xo(X > ?). Віднімаючи почленно ці рівності, отримаємо 0 = A-D + (? (x) -? (x)), звідки ? (x) -? (x) = D-А. Це рівність неможливо, т до на підставі св-ва 1 нескінченно малих ? (x) -? (x) є величина нескінченно мала. Отже, припущення про існування другого межі невірно. 2) Межа алгеброіческой суми кінцевого числа ф-ії дорівнює такій же сумі меж цих ф-ий, т е limx>xo(?)[F (x) + ? (x)] = A + B. 3) Межа твори кінцевого числа ф-ий дорівнює добутку меж цих ф-ий, т е limx>xo(?)[F (x) ? (x)] = AB. Зокрема, постійний множник можна виносити за знак межі, т е limx>xo(?)(Сf (x)) = Са. 4) Межа приватного двох ф-ий дорівнює частці меж цих ф-ий (за умови, що межа дільника не дорівнює нулю), т е limx>xo(?)f (x) / ? (x) = A / B (В ? 0). 5) Якщо limu>uof (u) = A, limx>xo? (x) = uo, То межа складної ф-ії limx>xof [? (x)] = A. 6) Якщо в деякому околі точки хо (Або при досить великих х) f (x) x>xo(?)f (x) ? limx>xo(?)? (x).

№54 Розкладання в ряд Маклорена ф-ії у = ln (1 + x) (висновок). Інтервал збіжності отриманого ряду.

Отримати розкладання ф-ії у = ln (1 + x) слід чином: Рассм геометричний ряд 1 / (1 + х) = 1-х + х23+ ... + (- 1)пхп+ ... Зі знаменником q = -x, кіт сходиться при | q | = | -x | <1, т е при -1 2-х3+ ... + (- 1)пхп+ ... В інтервалі (0; х), де | x | <1, з урахуванням того, що ?хоdx / (1 + x) = ln | 1 + x ||xo= Ln (1 + x), отримаємо ln (1 + x) = х-х2/ 2 + х3/3-...+((-1)пхп + 1) / (п+1) + ... Область збіжності ряду (після з'ясування збіжності на кінцях інтервалу збіжності) є (-1; 1].

№55 Розкладання в ряд Маклорена ф-ції у = (1 + х)п (Висновок). Інтервал збіжності отриманого ряду.

у = (1 + х)п, Де п- будь-яка дійсна число. Маємо f (x) = (1 + x)n, f / (X) = n (1 + x)n-1, F // (X) = n (n-1) (1 + x)n-2, F /// (X) = n (n-1) (n-2) (1 + x)n-3, ..., F(n)(X) = n (n-1) ... (n-k + 1) (1 + x)n-k. При х = 0 f (0) = 1, f / (0) = m, f // (0) = n (n-1), f /// (0) = n (n-1) (n-2), ..., f(n)(0) = n (n-1) ... (n-k + 1). За формулою f (x) = f (0) + f / (0) x + (f // (0)) / 2! • x2+ (F /// (0)) / 3! • x3+ ... + (F(n)(0)) / n! • xn+ ..., Отримуємо:

(1 + x)n= 1 + nx + (n (n-1)) / 2! • x2+ (N (n-1) (n-2)) / 3! • x3+ ... + (N (n-1) (n-k + 1)) / n! • xn+ ... Інтервал збіжності ряду (-1; 1) (на кінцях інтервалу при х = + - 1 збіжність ряду залежить від конкретних значень п). Ряд (1 + x)n= 1 + nx + (n (n-1)) / 2! • x2+ (N (n-1) (n-2)) / 3! • x3+ ... + (N (n-1) (n-k + 1)) / n! • xn+ ... Зв біноміальним. якщо п- Ціле позитивне число, то біноміальний радий представляє формулу бинома Ньютона, Т до при k= N + 1, n-k + 1 = 0, n-ий член ряду і всі наступні рівні нулю, т е ряд обривається і замість нескінченного розкладання виходить кінцева сума.

№39 Метод інтегрування частинами для випадків невизначеного і визначеного інтегралів (вивести формулу). Приклади.



 Принцип стискаючих відображень |  МАТРИЧНИЙ МЕТОД ВИРІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати