Головна |
Безперервність і точки розриву функцій.відповідь: Визначення. Функція f (x), певна в околиці деякої точки х0, називається безперервної в точціх0, Якщо межа функції і її значення в цій точці рівні, тобто Той же факт можна записати інакше: Визначення. Якщо функція f (x) визначена в деякому околі точки х0, Але не є безперервною в самій точці х0, То вона називається розривної функцією, а точка х0 - Точкою розриву. Приклад безперервної функції: y f (x0) + E f (x0) f (x0) -e 0 x0-D x0 x0+ D x Приклад розривної функції: y f (x0) + E f (x0) f (x0) -e x0 x Визначення. Функція f (x) називається неперервною в точці х0, Якщо для будь-якого позитивного числа e> 0 існує таке число D> 0, що для будь-яких х, що задовольняють умові вірно нерівність . Визначення. Функція f (x) називається безперервної в точці х = х0, Якщо приріст функції в точці х0 є нескінченно малою величиною. f (x) = f (x0) + A (x) де a (х) - нескінченно мала при х®х0. Точки розриву і їх класифікація. Розглянемо деяку функцію f (x), безперервну в околиці точки х0, За винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції випливає, що х = х0 є точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній безперервної. Слід зазначити також, що безперервність функції може бути односторонньою. Пояснимо це наступним чином. Якщо односторонній межа (див. Вище) , То функція називається неперервною справа. х0 Якщо односторонній межа (див. Вище) , То функція називається неперервною зліва. х0 Визначення. точка х0 називається точкою розривуфункції f (x), якщо f (x) не визначена в точці х0 або не є безперервною в цій точці. Визначення. точка х0 називається точкою розриву 1-го роду, Якщо в цій точці функція f (x) має кінцеві, але не рівні один одному лівий і правий межі. Для виконання умов цього визначення не потрібно, щоб функція була визначена в точці х = х0, Досить того, що вона визначена зліва і праворуч від неї. З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1 - го роду функція може мати тільки кінцевий стрибок. В деяких окремих випадках точку розриву 1 - го роду ще іноді називають усуненоюточкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче. Визначення. точка х0 називається точкою розриву 2 - го роду, Якщо в цій точці функція f (x) не має хоча б одного з односторонніх меж або хоча б один з них нескінченний. Другий чудовий межа (доказ) | Основні теореми про властивості неперервних функцій. (Теорема Вейерштрасса і Коші, рівномірна збіжність) Граничний перехід у нерівностях для послідовностей. | Теорема про 3-х послідовності. | Властивості монотонних послідовностей. | Число е (доказ) | Визначення границі функції. Критерій Коші існування границі функцій. | Властивості функцій, що мають межу (арифметичні властивості меж) | Перехід до межі в нерівностях для функцій. Заміна змінної при обчисленні меж. | Нескінченно малі функції. Арифметичні дії з нескінченно малими (доказ) | Основні теореми про границі функцій. (Доведення) | Перший чудовий межа (доказ) | |