Головна

Безперервність і точки розриву функцій.

  1.  II. Межа і неперервність функції
  2.  III. Оборот змінного капіталу з суспільної точки зору
  3.  Абсолютного прискорення точки
  4.  Апроксимація функцій.
  5.  Аудит структури зарплати з точки зору внутрішньої справедливості
  6.  Базис булевих функцій. теорема Поста
  7.  Бар'єрні точки випуску - фінансовий підхід до їх визначення

відповідь:

Визначення. Функція f (x), певна в околиці деякої точки х0, називається безперервної в точціх0, Якщо межа функції і її значення в цій точці рівні, тобто

Той же факт можна записати інакше:

Визначення. Якщо функція f (x) визначена в деякому околі точки х0, Але не є безперервною в самій точці х0, То вона називається розривної функцією, а точка х0 - Точкою розриву.

Приклад безперервної функції:

y

f (x0) + E

f (x0)

f (x0) -e

0 x0-D x0 x0+ D x

 Приклад розривної функції:

y

f (x0) + E

f (x0)

f (x0) -e

x0 x

Визначення. Функція f (x) називається неперервною в точці х0, Якщо для будь-якого позитивного числа e> 0 існує таке число D> 0, що для будь-яких х, що задовольняють умові

вірно нерівність .

Визначення. Функція f (x) називається безперервної в точці х = х0, Якщо приріст функції в точці х0 є нескінченно малою величиною.

f (x) = f (x0) + A (x)

де a (х) - нескінченно мала при х®х0.

Точки розриву і їх класифікація.

Розглянемо деяку функцію f (x), безперервну в околиці точки х0, За винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції випливає, що х = х0 є точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній безперервної.

Слід зазначити також, що безперервність функції може бути односторонньою. Пояснимо це наступним чином.

Якщо односторонній межа (див. Вище)  , То функція називається неперервною справа.

 
 

х0

Якщо односторонній межа (див. Вище)  , То функція називається неперервною зліва.

 
 

х0

Визначення. точка х0 називається точкою розривуфункції f (x), якщо f (x) не визначена в точці х0 або не є безперервною в цій точці.

Визначення. точка х0 називається точкою розриву 1-го роду, Якщо в цій точці функція f (x) має кінцеві, але не рівні один одному лівий і правий межі.

Для виконання умов цього визначення не потрібно, щоб функція була визначена в точці х = х0, Досить того, що вона визначена зліва і праворуч від неї.

З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1 - го роду функція може мати тільки кінцевий стрибок. В деяких окремих випадках точку розриву 1 - го роду ще іноді називають усуненоюточкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче.

Визначення. точка х0 називається точкою розриву 2 - го роду, Якщо в цій точці функція f (x) не має хоча б одного з односторонніх меж або хоча б один з них нескінченний.

 Другий чудовий межа (доказ) |  Основні теореми про властивості неперервних функцій. (Теорема Вейерштрасса і Коші, рівномірна збіжність)


 Граничний перехід у нерівностях для послідовностей. |  Теорема про 3-х послідовності. |  Властивості монотонних послідовностей. |  Число е (доказ) |  Визначення границі функції. Критерій Коші існування границі функцій. |  Властивості функцій, що мають межу (арифметичні властивості меж) |  Перехід до межі в нерівностях для функцій. Заміна змінної при обчисленні меж. |  Нескінченно малі функції. Арифметичні дії з нескінченно малими (доказ) |  Основні теореми про границі функцій. (Доведення) |  Перший чудовий межа (доказ) |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати