На головну

|  ВСТУП |  Правила виконання і оформлення контрольної роботи |  Ітераційні методи рішення систем лінійних рівнянь |  Вирішити методом Гаусса-Зейделя систему рівнянь з точністю 0.001. |

чисельне інтегрування

  1.  все перераховане
  2.  Г) Все перераховане вірно
  3.  Інтегрування біномного диференціала
  4.  Інтегрування біномного диференціала.
  5.  Інтегрування в повних диференціалах
  6.  Інтегрування виразів виду.
  7.  Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен

Постановка задачі. Нехай на відрізку  задана функція  . За допомогою точок  ...,  розіб'ємо відрізок  на n відрізків (  ), Причому  . На кожному з цих відрізків виберемо довільну  і знайдемо твір  значення функції в цій точці  на довжину відрізка :

 (19)

Складемо суму всіх таких творів:

 (20)

сума  називається інтегральною сумою. Певним інтегралом від функції  на відрізку [a, b] Називається межа інтегральної суми при необмеженому збільшенні числа точок розбиття; при цьому довжина найбільшого з відрізків прямує до нуля:

 (21)

Теорема існування певного інтеграла. якщо функція  неперервна на відрізку [a, b], То межа інтегральної суми існує і не залежить ні від способу розбиття відрізка [a, b], Ні від вибору точок .

 Геометричний сенс введених понять для випадку  > 0 проілюстрований на рис. 2.

Мал. 2.

абсциссами точок  є значення  , Координатами - значення  . Вирази (19) при  описують площі елементарних прямокутників (штрихові лінії), інтегральна сума (20) - площа ступінчастою фігури, утвореної цими прямокутниками. При необмеженому збільшенні числа точок ділення і прагненні до нуля всіх  верхня межа фігури (ламана) переходить в лінію  . Площа отриманої фігури, яку називають криволінійною трапецією, дорівнює визначеному інтегралу (21).

У багатьох випадках, коли підінтегральна функція задана в аналітичному вигляді, певний інтеграл вдається обчислити безпосередньо за допомогою невизначеного інтеграла (вірніше, первообразной) за формулою Ньютона-Лейбніца. Вона полягає в тому, що визначений інтеграл дорівнює збільшенню первісної  на відрізку інтегрування:

 . (22)

Однак на практиці цією формулою часто можна скористатися з двох основних причин:

1) вид функції  не допускає безпосереднього інтегрування, т. е. первообразную не можна виразити в елементарних функціях;

2) значення функції  задані тільки на фіксованому кінцевому безлічі точок  , Т. Е. Функція задана у вигляді таблиці.

У цих випадках використовують методи чисельного інтегрування. Вони засновані на апроксимації підінтегральної функції деякими більш простими виразами, наприклад, многочленами.

Методи прямокутників і трапецій

Найпростішим методом чисельного інтегрування є метод прямокутників. Він безпосередньо використовує заміну певного інтеграла інтегральної сумою (20). Як точок  можуть вибиратися ліві (  ) Або праві (  ) Кордону відрізків. позначаючи ,  , Отримуємо такі формули методу прямокутників відповідно для цих двох випадків:

 (23)

 (24)

Більш точним є вид формули прямокутників, який використовує значення функції в середніх точках відрізків (в напівцілий вузлах):

 , (25)

, .

Надалі під методом прямокутників будемо розуміти останній алгоритм (він ще називається методом середніх).

метод трапецій використовує лінійну інтерполяцію, т. е. графік функції  представляється у вигляді ламаної, що з'єднує точки  . У цьому випадку площа всієї фігури (криволінійної трапеції) складається з площ прямолінійних трапецій (рис. 3).

Площа кожної такої трапеції дорівнює добутку півсуми підстав на висоту:

.

Складаючи всі ці рівності, отримуємо формулу трапецій для чисельного інтегрування:

 . (26)

Мал. 3

Важливим окремим випадком цих формул є їх застосування при чисельному інтегруванні з постійним кроком (  . Формули прямокутників і трапецій в цьому випадку приймають відповідно вигляд:

 (27)

 . (28)

метод Сімпсона

Розіб'ємо відрізок інтегрування [a, b] На парне число n рівних частин з кроком h. На кожному відрізку  ...,  , ...,  підінтегральної функції  замінимо інтерполяційним многочленом другого ступеня:

.

Коефіцієнти цих квадратних тричленів можуть бути знайдені з умов рівності многочлена в точках  відповідним табличним даними  . В якості  можна прийняти інтерполяційний многочлен Лагранжа другого ступеня, що проходить через точки , , :

.

елементарна площа  (Рис. 4) може бути обчислена за допомогою певного інтеграла.

Мал. 4.

З огляду на рівності  , отримуємо

Провівши такі обчислення для кожного відрізка  , Підсумуємо отримані вирази:

.

Цей вираз для S приймається як значення певного інтеграла:

 (29)

Отримане співвідношення (29) називається формулою Сімпсона.

Приклад. обчислити інтеграл  методами прямокутників, трапецій і Сімпсона.

Рішення. Використовуємо для обчислення інтеграла формули прямокутників і трапецій. Для цього розіб'ємо відрізок інтегрування [0,1] на десять рівних частин: n =10, h= 0.1. Обчислимо значення підінтегральної функції  в точках розбиття  , А також в напівцілий точках ,  . Результати обчислень занесемо в таблицю 4.

Таблиця 4

 0.0  1.000000 - -
 0.1  0.990099  0.05  0.997506
 0.2  0.961538  0.15  0.977995
 0.3  0.917431  0.25  0.941176
 0.4  0.862069  0.35  0.890868
 0.5  0.800000  0.45  0.831601
 0.6  0.735294  0.55  0.767754
 0.7  0.671141  0.65  0.702988
 0.8  0.609756  0.75  0.640000
 0.9  0.552486  0.85  0.580552
 1.0  0.500000  0.95  0.525624

За формулою прямокутників (27) отримаємо .

Обчислити значення інтеграла за методом Сімпсона. Значення функції при n =10, h= 0.1 наведені в таблиці 1. Застосовуючи формулу (29), знаходимо:

.

завдання 5

Обчислити інтеграл методами прямокутників, трапецій і Сімпсона.

варіанти

0.  1.  2.

3.  4.  5.

6.  7.  8.

9.



 Метод найменших квадратів |  Рішення диференціальних рівнянь
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати