Головна

|  ВСТУП |  Правила виконання і оформлення контрольної роботи |  Ітераційні методи рішення систем лінійних рівнянь |  Рішення диференціальних рівнянь |

Метод найменших квадратів

  1.  I метод
  2.  I. ЗАГАЛЬНІ Методичні вказівки
  3.  I. Методичний інструментарій оцінки рівня ліквідності інвестицій забезпечує здійснення такої оцінки в абсолютних і відносних показниках.
  4.  I. Організаційно-методичний розділ
  5.  I. Статистичні методи побудови динамічних об'єктів технологічних процесів.
  6.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів
  7.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів

Нехай, вивчаючи невідому функціональну залежність між y і x, в результаті серії експериментів справили ряд вимірювань цих величин і отримали таблицю значень

x0 x1 x2  ... xn
y0 y1 y2  ... yn

Завдання полягає в тому, щоб знайти наближену залежність

 (8)

значення якої при  мало відрізняються від досвідчених даних  . Наближена функціональна залежність (8), отримана на підставі експериментальних даних, називається емпіричною формулою.

Завдання побудови емпіричної формули відрізняється від завдання інтерполяції. Графік емпіричної залежності, взагалі кажучи, не проходить через задані точки  , Як у випадку інтерполяції. Це призводить до того, що експериментальні дані в деякій мірі згладжуються, а інтерполяціонная формула повторила б все помилки, наявні в експериментальних даних.

Побудова емпіричної формули складається з двох етапів: підбір загального вигляду цієї формули і визначення найкращих значень містяться в ній параметрів.

У методі найменших квадратів в якості емпіричної функції обраний многочлен. Відповідно до цього методу за міру відхилення многочлена

 (9)

від даної функції  на множині точок ,  , ...,  приймають величину

 , (10)

рівну сумі квадратів відхилень багаточлена  від функції  на заданій системі точок.

Очевидно, що  є функція коефіцієнтів ,  , ...,  . Ці коефіцієнти треба підібрати так, щоб величина  була найменшою. Отриманий многочлен називається апроксимується для даної функції, а процес побудови цього многочлена - точкової квадратичної аппроксимацией або точковим квадратичним апроксимування функції.

Для вирішення завдання точкового квадратичного апроксимування скористаємося загальним прийомом диференціального обчислення. Знайдемо приватні похідні від величини

де  по всім змінним  , ...,  . Прирівнюючи ці приватні похідні до нуля, отримаємо для визначення невідомих  , ...,  систему m +1 рівнянь з m +1 невідомими:

 (11)

Введемо позначення:

,

,

Перетворюючи систему (11) і використовуючи введені позначення, матимемо:

 (12)

де .

Можна довести, що якщо серед точок ,  , ...,  немає співпадаючих і  , То визначник системи (12) відмінний від нуля і, отже, ця система має єдине рішення ,  , ...,  . Многочлен (9) з такими коефіцієнтами буде володіти мінімальним квадратичним відхиленням .

Таким чином, апроксимування функцій є більш загальний процес, ніж інтерполювання.

Для складання системи (11) рекомендується схема способу найменших квадратів, наведена в таблиці 1, де прийнято m =2.

Таблиця 1

Приклад. Підібрати аппроксимирующий многочлен другого ступеня  для даних

 0.78  1.50  2.34  3.12  3.81
 2.50  1.20  1.12  2.25  4.28

Рішення. Обчислення, які нам потрібно зробити, розташуємо за схемою (для m= 2, n= 4), наведеної в таблиці 1.

Для даного прикладу отримуємо таблицю 2 (обчислення проводяться з трьома десятковими знаками).

Таблиця 2

 0.78  0.608  0.475  0.370  2.50  1.950  1.520
 1.56  2.434  3.796  5.922  1.20  1.872  2.921
 2.34  5.476  12.813  29.982  1.12  2.621  6.133
 3.12  9.734  30.371  94.759  2.25  7.020  21.902
 3.81  14.516  55.306  210.717  4.28  16.307  62.128
 11.61  32.768  102.761  341.750  11.35  29.770  94.604

Звідси система для визначення коефіцієнтів , , :

 (13)

Вирішивши систему (13), отримаємо , ,  . Отже, шуканий многочлен є

 (14)

Порівняємо вихідні значення для  з відповідними значеннями  , Отриманими з наближеною формули (14). Відповідні результати наведені в таблиці 3.

Таблиця 3

 0.78  2.50  2.505  0.005
 1.56  1.20  1.194  0.006
 2.34  1.12  1,110  0.010
 3.12  2.25  2.252  0.002
 3.81  4.28  4.288  0.008

завдання 3

Підібрати аппроксимирующий многочлен другого ступеня  для функції з завдання 2.

4. Рішення нелінійних рівнянь

Постановка задачі. Обчислення коренів рівняння - одна з найважливіших математичних задач. Порівняно рідко вдається знайти точні значення коренів. Тому важливого значення набувають способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінка ступеня їх точності.

Нехай дано рівняння з одним невідомим виду

,(15)

Де - безперервна функція змінної x. Потрібно знайти корінь цього рівняння. Уявити рішення цього рівняння у вигляді кінцевої формули виявляється неможливим, тому ми відмовимося від пошуку точного значення коренів і займемося їх наближеним обчисленням із заданою точністю.

Основні етапи рішення. Рішення завдання відшукання коренів здійснюється в два етапи. Перший етап називається етапом відділення (локалізації) коренів, другий - ітераційного уточнення коренів.

Відомо, що якщо функція f (x) неперервна і приймає на кінцях відрізка [a, b] Значення різних знаків, тобто f (a) f (b) <0, То всередині цього проміжку є хоча б один корінь рівняння.

Геометрично це означає, що графік неперервної функції, розташованої по різні боки осі OX, Перетинає цю вісь, щонайменше, в одній точці.

відрізок [a, b], Який містить лише один корінь рівняння f (x), Називається відрізком локалізації кореня. Мета етапу локалізації вважається досягнутої, якщо для кожних підлягають визначенню коренів вдалося вказати відрізок локалізації.

На жаль, універсальний метод локалізації не представляється можливим. У простих ситуаціях хороший результат може давати графічний метод. Часто застосовується побудова таблиць значень функцій виду yi= f (xi), i =1,2, ... і при цьому про наявність кореня на відрізку [xi, xi+1], Судять по зміні знака функції на кінцях відрізка.

Приклад 1. локализуя коріння рівняння

4-2x2-ex=0.

Для цього перетворимо рівняння до виду 4-2x2= ex і побудуємо графіки функцій y =4-2x2и y = ex. Абсциси точок перетину цих графіків є корінням даного рівняння. З графіка, зображеного на рис. 1, видно, що рівняння має два коня, розташовані на відрізках [-2, -1] і [0,1].

Мал. 1

Приклад 2. локализуя коріння рівняння

x3- 1.1x2-2.2x+ 1.8 = 0.

Для цього складемо таблицю значень функції F (x) = x3-1.1x2-2.2x+1.8 На відрізку [-2,2] з кроком 0.4.

 -2  -1.6  -1.2  -0.8  -0.4
 -6.2  -1.592  1.128  2.344  2.44  1.8
 0.4  0.8  1.2  1.6  2.0
 0.808  -0.152  -0.696  -0.44

З таблиці видно, що функція f змінює знак на кінцях відрізків [-1.6, -1.2], [0.4, 0.8], [1.6, 2.0]. Тому кожен з цих відрізків містить, принаймні, один корінь. Враховуючи що f (x) - Многочлен третього ступеня, який не може мати більше трьох коренів, то завдання локалізації вирішена.

Після локалізації коренів проводиться ітераційне уточнення кожного кореня одним з методів. Розглянемо метод половинного ділення.

Метод половинного ділення. Нехай дано рівняння (15), причому функція f (x) неперервна на [a, b] і f (a) f (b) <0. Для обчислення кореня рівняння (15), що належить відрізку [a, b], Знайдемо середину цього відрізка  . якщо  , То для продовження обчислень виберемо ту з частин даного відрізка [a, x0] Або [x0, b], На кінцях якої функція f (x) має протилежні знаки. Кінці нового відрізка позначимо через a1 и b1.

Новий відрізок [a1, b1] Знову ділимо навпіл і проводимо ті ж міркування і т. Д. В результаті отримуємо на якомусь етапі або точний корінь рівняння (15), або ж нескінченну послідовність вкладених відрізків [a, b], [a1, b1], ..., [an, bn], Таких що

f (an) F (bn)> 0 (n= 1,2, ...), (16)

 (17)

число  - Загальний межа послідовностей {an} І {bn} - Є коренем рівняння f (x) = 0.

Оцінку похибки на n-ом кроці обчислень можна отримати зі співвідношення (17) у вигляді

 . (18)

тут  з точністю  , Що не перевищує .

Якщо потрібно знайти корінь рівняння з точністю  , То поділнавпіл триває до тих пір, поки довжина відрізка не стане менше 2  . Тоді координата середини відрізка і є значення кореня з необхідною точністю.

Метод поділу навпіл сходиться для будь-яких безперервних функцій, стійкий до помилок округлення і легко реалізується на ЕОМ.

завдання 4

Відокремити корені рівняння і знайти їх з точністю  = 0,01 шляхом розподілу навпіл. Зробити креслення.

0.  1.  2.

3.  4.  5.

6.  7.  8.

9.

 



 Вирішити методом Гаусса-Зейделя систему рівнянь з точністю 0.001. |  чисельне інтегрування
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати