Головна

|  ВСТУП |  Метод найменших квадратів |  чисельне інтегрування |  Рішення диференціальних рівнянь |

Ітераційні методи рішення систем лінійних рівнянь

  1.  A) збігається решеточная система б) Взаємно протилежна решеточная
  2.  I-е покоління систем рухомого зв'язку - аналогові системи
  3.  I. визначник ТА СИСТЕМИ
  4.  I. Система граматичних часів в пасивному стані
  5.  I. Створення радянської судової системи
  6.  I. Статистичні методи побудови динамічних об'єктів технологічних процесів.
  7.  II-е покоління систем рухомого зв'язку - цифрові системи

До вирішення систем лінійних рівнянь зводяться численні практичні завдання. Можна з повною підставою стверджувати, що рішення лінійних систем є однією з найпоширеніших і важливих завдань обчислювальної математики.

Запишемо систему з n рівнянь з n невідомими:

 (1)

тут и (  ) - Числові коефіцієнти,  - Невідомі.

Методи рішення систем лінійних рівнянь діляться на дві групи - прямі та ітераційні. Прямі методи використовують кінцеві співвідношення (формули) для обчислення невідомих. Вони дають рішення після виконання заздалегідь відомого числа операцій. Ітераційні методи - це методи послідовних наближень. У них необхідно задати деяке наближене рішення - початкове наближення. Після цього за допомогою деякого алгоритму проводиться один цикл обчислень, званих итерацией. В результаті ітерації знаходять нове наближення. Ітерації проводяться до отримання рішення з необхідною точністю. Одним з найбільш поширених ітераційних методів є метод Гаусса-Зейделя.

Метод Гауcса-Зейделя

Достатньою умовою збіжності методу Гаусса-Зейделя є

 при i= 1, 2, ..., n.

Наступна послідовність кроків представляє метод Гаусса-Зейделя.

Крок 1. Перевірити виконання умови  ? 0,  ? 0, ...,  ? 0. Якщо воно не виконується, переставити рівняння так, щоб воно виконувалося.

Крок 2. Висловити j-ю змінну з j-го рівняння для кожного j = 1, ..., n. отримаємо

...

 (2)

... .

Крок 3. Вибрати довільним чином початкове наближення .

Крок 4. Підставити  в праву частину системи (2), тоді в лівій її частині вийде перше наближення ,

,

...

...

.

Крок 5. Обчислити d = max |  |, 1 ? j ? n.

Крок 6. Якщо  менше заданої точності, то  - Наближене рішення, в іншому випадку підставити  в праву частину системи (2), тоді в лівій частині отримаємо друге наближення  . Знову обчислити d = max |  | і діяти таким чином до тих пір, поки  стане менше заданої точності.

Перехід від k-ого наближення до (k + 1) -го здійснюється за формулами

,

... (3)

,

а вихід з циклу відбувається при виконання умови

,

де  - Задана точність наближення.

Приклад. Вирішити з точністю 0,001 систему

.

Рішення. Діагональні елементи відмінні від нуля, тому можна застосувати метод Гаусса-Зейделя. Наведемо систему до виду (3):

.

Виберемо початкове (нульове) наближення  і знайдемо :

.

Знайдемо друге наближення :

.

Знайдено третю наближення :

.

Знайдемо четверте наближення :

.

Перші три знаки після коми в и  однакові, тому наближеним рішенням із заданою точністю є вектор

.

 



 Правила виконання і оформлення контрольної роботи |  Вирішити методом Гаусса-Зейделя систему рівнянь з точністю 0.001.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати