Головна

Приведення квадратичних форм до канонічного

  1.  Алгоритм приведення квадратичної форми до канонічного вигляду ортогональним перетворенням.
  2.  Заміна механізму на динамічно еквівалентну модель. Ланка приведення. Приведення сил і мас. Умови динамічної еквівалентності
  3.  До канонічного вигляду
  4.  Квадратичні форми. Критерій Сильвестра. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
  5.  Приведення у відповідність двох моделей
  6.  Приведення у відповідність ресурсів GE
  7.  Приведення завдання лінійного програмування до канонічної формі

увазі

Розглянемо деякий лінійне перетворення А з матрицею .

Це симетрична перетворення можна записати у вигляді:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

де у1 і у2 - Координати вектора  в базисі .

Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді

Ф (х1, х2) = Х1у1 + х2у2.

Як видно, геометричний сенс числового значення квадратичної форми Ф в точці з координатами х1 і х2 - скалярний добуток .

Якщо взяти інший ортонормованій базис на площині, то в ньому квадратична форма Ф буде виглядати інакше, хоча її числове значення в кожній геометричній точці і не зміниться. Якщо знайти такий базис, в якому квадратична форма не буде містити координат в першого ступеня, а тільки координати в квадраті, то квадратичну форму можна буде привести до канонічного виду.

Якщо в якості базису взяти сукупність власних векторів лінійного перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд:

.

При переході до нового базису від змінних х1 і х2 ми переходимо до змінним и  . тоді:

тоді .

 вираз  називається канонічним видом квадратичної форми. Аналогічно можна привести до канонічного виду квадратичную форму з великим числом змінних.

Теорія квадратичних форм використовується для приведення до канонічного виду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Ф (х1, х2) = 27 .

Коефіцієнти: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Складемо характеристичне рівняння: ;

(27 - l) (3 - l) - 25 = 0

l2 - 30l + 56 = 0

l1 = 2; l2 = 28;

Приклад. Привести до канонічного вигляду рівняння другого порядку:

17x2 + 12xy + 8y2 - 20 = 0.

коефіцієнти а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Складемо характеристичне рівняння:

(17 - l) (8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l2 - 36 = 0

l2 - 25l + 100 = 0

l1 = 5, l2 = 20.

Разом:  - Канонічне рівняння еліпса.

 квадратичні форми |  Межа функції в точці


 Метод Крамера рішення систем лінійних рівнянь |  Метод Гаусса рішення систем лінійних рівнянь |  Вектори і їх властивості |  Скалярний добуток векторів |  Векторний добуток векторів |  Загальне рівняння площини |  Для того, щоб через три будь-які точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій. |  Нехай задані точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) і вектор. |  Рівняння лінії на площині |  Крива другого порядку може бути задана рівнянням |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати