Головна |
Приведення квадратичних форм до канонічногоувазі Розглянемо деякий лінійне перетворення А з матрицею . Це симетрична перетворення можна записати у вигляді: y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a12x1 + a22x2 де у1 і у2 - Координати вектора в базисі . Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді Ф (х1, х2) = Х1у1 + х2у2. Як видно, геометричний сенс числового значення квадратичної форми Ф в точці з координатами х1 і х2 - скалярний добуток . Якщо взяти інший ортонормованій базис на площині, то в ньому квадратична форма Ф буде виглядати інакше, хоча її числове значення в кожній геометричній точці і не зміниться. Якщо знайти такий базис, в якому квадратична форма не буде містити координат в першого ступеня, а тільки координати в квадраті, то квадратичну форму можна буде привести до канонічного виду. Якщо в якості базису взяти сукупність власних векторів лінійного перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд: . При переході до нового базису від змінних х1 і х2 ми переходимо до змінним и . тоді: тоді . вираз називається канонічним видом квадратичної форми. Аналогічно можна привести до канонічного виду квадратичную форму з великим числом змінних. Теорія квадратичних форм використовується для приведення до канонічного виду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку. Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму Ф (х1, х2) = 27 . Коефіцієнти: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3. Складемо характеристичне рівняння: ; (27 - l) (3 - l) - 25 = 0 l2 - 30l + 56 = 0 l1 = 2; l2 = 28; Приклад. Привести до канонічного вигляду рівняння другого порядку: 17x2 + 12xy + 8y2 - 20 = 0. коефіцієнти а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А = Складемо характеристичне рівняння: (17 - l) (8 - l) - 36 = 0 136 - 8l - 17l + l2 - 36 = 0 l2 - 25l + 100 = 0 l1 = 5, l2 = 20. Разом: - Канонічне рівняння еліпса. квадратичні форми | Межа функції в точці Метод Крамера рішення систем лінійних рівнянь | Метод Гаусса рішення систем лінійних рівнянь | Вектори і їх властивості | Скалярний добуток векторів | Векторний добуток векторів | Загальне рівняння площини | Для того, щоб через три будь-які точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій. | Нехай задані точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) і вектор. | Рівняння лінії на площині | Крива другого порядку може бути задана рівнянням | |