На головну

Автор-укладач Родер Н. А. | Приклади. | Приклади. | Приклади. | Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень | Векторна алгебра | Координати вектора | Доведення | Доведення | Доведення |

Доведення

  1. Доведення
  2. Доведення
  3. Доведення
  4. Доведення
  5. Доведення
  6. Доведення

Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи означення похідної.

Нехай х0 - деяка точка інтервала [a; b].

Тоді,

Так як

то

А отже

Так як х0 - вільна точка інтервалу [a; b], то в формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

Приклад.Знайти

Розв'язання

Чисельник та знаменник дробу окремо прямують до нуля при x → 0, (невизначеність вигляду ).

Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:

Відповідь.

Приклади для самостійного розв'язування

1.Користуючись означенням похідної, знайти похідну функцій:

а) у = 2х3 + 5х2 - 7х - 4;

б) у = -ctgх - х;

в) у = sin (2х+3).

2. Знайти граничний доход підприємства, якщо кількісь виготовлених та проданих виробів х та роздрібна вартість кожного виробу р зв'язані з рівністю х = 4000 - 2р.

3.Функція витрат підприємства має вигляд V(x)=2000+10x-0,1х2+0,002х3 (тисяч гривень). Знайти граничну вартість при х = 50, х = 100 та х = 120.


Похідні функцій заданих неявно та параметрично

Означення. Якщо функція задана у вигляді , де t - параметр, то це завдання називають параметричним.

Для знаходження похідної використовують формулу:

(1)

Для знаходження другої похідної необхідно:

(2)

Приклад.Знайти похідну функції, заданої параметрично

Розв'язання

Знайдемо

Знайдемо

Тоді за формулою (1)

Тоді за формулою (2):

Відповідь. ;

Означення.Функція виду F(x;y) = 0, де х - незалежна змінна, у - функція називається функцією, що задана неявно.

Наприклад,х2у2 + 2у4 + = 0

у2 cos х + 5ху3 = 0.

Надалі будемо вважати, що ця функція - диференційована.

Продиференціювавши по х обидві частини рівняння F(x;y) = 0, дістанемо, рівняти першого степеня відносно у. З цього рівняння легко знайти у', тобто похідну неявної функції

Приклад. Знайти у', якщо х2 + у2 = 4

Розв'язання

Оскільки у є функцією від х, то у2 розглядатимемо як складну функцію від х, тобто 2)' = 2у ∙ у'.

Знайдемо похідну від лівої і правої частини рівності:

2)' + (у2)' = 4'

2х + 2у ∙ у'=0

у' =

у' =

Відповідь.у' =

Приклад. Знайти похідну: х3 + lп е - х2 е y = 0

Розв'язання

Функція задана неявно. Диференціюємо ліву і праву частини рівняння по змінній х, отримуємо:

3) + (ln у)' - (х2ey)' = 0

2 + ∙ у' - (х2)'- еу - х2у)' = 0

2 + ∙ у' - 2xey - x2eyy' = 0

∙ у' - x2eyy' = 2xey - 2

у ' ∙ ( - x2ey) = 2xey - 2

Відповідь. .

Означення.Функція виду у = (U(x))v(x), де U(x) і V(x) - функції від x називається степенево-показниковою.

При знаходженні похідної необхідно знайти логарифм лівої і правої частини рівняння, знайти похідну від обох частин і виразити у.

y = UV

ln у = ln UV

lny= V lnU

Оскільки ln у і ln U - складені функції, після диференціювання обох частин рівності дістанемо:

y' = V' lnU+U' V

Звідки у' =y(V ln U+ V);

або y'=UV (V' lnU + V)

Приклад.Знайти похідну функції y = (sin x)tgx

Розв'язання

Функція показниково-степенева. Використовується метод логарифмічного диференціювання

lпу = tgx ln sin х

Диференціюємо обидві частини за х, враховуючи, що lпу - складна функція від х, а правачастина добуток U' V одержимо:

(ln у) '=(tgx ∙ ln sin x)';

y' = (tgх)' ln sin x + tg x(ln sin x)'

= ln sin x + tgx ∙ ∙ cos x;

Відповідь.

Приклади для самостійного розв'язування

1)Знайти похідні функцій заданих параметрично:

а) б) в)

2)Знайти похідні неявно заданих функцій:

а)х4+ у42у2; в)tgy = 4у - 5х; д)х4+ х2у2 +у = 4;

б)у2х = ; г) 2y lny = х; ж) sin у = ху2 +5;

3)Знайти похідні степенево-показникових функцій:

а) ; в)y = (x2 + 1) sin x;д) (lп x)tg 2x;

б)(arctg х)х ;г) (arccos x)x; ж)


Диференціал, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень.

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Внаслідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різноманітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити диференціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну називають лінеаризацією процесу.

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia - різниця) ввів у математику Лейбніц.

Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді при ,

Звідки (1)

Перший з доданків лінійний відносно і при та f '(х) 0 є нескінченно малою одного порядку з , тому що: .

Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж , тому що .

Цей доданок не є лінійним відносно , тобто містить в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.

Означення. Диференціалом dy функції у = f (х) в точці хназивається головна, лінійна відносно , частина приросту функції f(х) в цій точці:

dy = f ' (х) (2)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = , тобто диференціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом . Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f '(x)dx (3)

Формула дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауважимо, що коли в точці х0 похідна f ' (х0) = 0, то перший доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною частиною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за поданною вище формулою.

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 1.

Маємо PN = , QN = MN tg α= f '(x) = f '(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень .

З'ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом S = f(t), де f(t) - диференційовна на деякому проміжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f '(t) при фіксованих значеннях t і - це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рівномірно із сталою швидкістю V = f ' (t). Зрозуміло, що фактичний шлях у випадку нерівномірного руху на відміну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.

Властивості диференціала:

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, u і v - диференційовні функції від х, С - стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

d (u ± v) = du ± dv;

Застосування диференціала до наближених обчислень функції

Теорема. Якщо у'х = f '(x) ≠ 0, то , тобто і dy є еквівалентними нескінченно малими.



Доведення | Доведення
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати