На головну

Автор-укладач Родер Н. А. | Приклади. | Приклади. | Приклади. | Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень | Доведення | Доведення | Доведення | Доведення | Доведення |

Координати вектора

  1. Билет 5. Операции над векторами
  2. Вектора: целей, состояния, ошибки управления, их соотношение
  3. Вектора: целей, состояния, ошибки управления, их соотношение
  4. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
  5. Векторы. Линейные операции над векторами
  6. Выполни действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
  7. Вычисление вектора валового выпуска X.

Теорема.Будь-який вектор на площині можна розкласти єдиним чином за базисними векторами, тобто

Коефіцієнти розкладу х і у цього вектора називаються координатами вектора в даній системі координат і записують = (х; у).

Довжина вектора .

Якщо вектор задано двома точками А(хАА), В(хВВ), то координати вектора визначаються за формулою: АВ = (хвА; увА).

Дії над векторами в координатній формі

На площині В просторі
= (х1 ; у1); = (х2 ; у2) = (х1 ; у1; z1); = (х2 ; у2; z2)
Сума
+ = (х1 + х2; у1 + у2) + = (х1 + х2; у1 + у2; z1 + z2)
Різниця
- = (х1 - х2; у1 - у2) - = (х1 - х2; у1 - у2; z1 - z2)
Множення вектора на число
k ∙ = (k ∙ х1 ; k ∙ у1) k ∙ = (k ∙ х1 ; k ∙ у1; k ∙ z1)
Кут між векторами
Відстань між двома точками

Означення. Скалярним добутком двох векторів = (х1; у1; z1) та = (х2; у2; z2) називається число .

Теорема. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.

З цієї теореми випливає, що якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Властивості скалярного добутку:

1) ;

2) ;

3) ;

4)Якщо , то ; якщо , то .

Виходячи з формул скалярного добутку векторів, кут між векторами можна обчислити наступним чином:

Приклад.Знайти модуль вектора 4 - 3 , якщо = (2; -3), =(-4; 1).

Розв'язання

Знайдемо координати векторів 4 і 3 :

4 = (8; -12); 3 =(-12; 3)

Знайдемо координати різниці векторів 4 - 3 :

4 - 3 = (8 - (-12); -12 - 3) = (20; -15)

Знайдемо абсолютну величну вектора 4 - 3 :

Відповідь.4 - 3 =25.

Приклад. При якому значенні m вектори = (m; -4) і = (-2; 3) перпендикулярні.

Розв'язання

Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю:

x1x2 + y1y2 = 0

Підставимо координати векторів і

-2m + (-4) ∙ 3 = 0;

-2m - 12 = 0;

-2m = 12;

m = - 6.

Отже, вектори і перпендикулярні при m = - 6.

Відповідь.m = - 6.

Приклад.Дано точки B (-1; 3); С(8; -12).Знайти координати точок М і N, які ділять відрізок на три рівні частини.

Розв'язання

Точка N ділить відрізок ВС у відношенні

Тоді ;

Підставимо в ці формули координати точок В і С.

Маємо: ;

Отже, N (5;7).

Точка М ділить відрізок BN навпіл, тоді: ;

Підставимо координати ; .

Отже, М(2; -2).

Відповідь.М(2; -2).

Приклад.Довести, що трикутник з вершинами А(2; 2); В(-1; 6); С(-5; 3) - прямокутний.



Векторна алгебра | Доведення
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати