Головна

Автор-укладач Родер Н. А. | Приклади. | Векторна алгебра | Координати вектора | Доведення | Доведення | Доведення | Доведення | Доведення | Доведення |

Приклади.

  1. Приклади.
  2. Приклади.
  3. Приклади.
  4. Приклади.
  5. Приклади.

1. При A={a, b, c} перестановками з повтореннями складу (1, 0, 2) є послідовності (a,c,c), (c,a,c), (c,c,a), складу (1, 1, 1) - (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

2. Нехай m різних кульок розкладаються по n різних ящиках так, що в першому ящику k1 кульок, у другому - k2 кульок, ..., у n-му - kn кульок, причому m=k1+k2+...+kn. Пронумеруємо кульки від 1 до m, ящики - від 1 до n. Задамо розподілення кульок як функцію, яка ставить у відповідність номеру кульки номер ящика, куди вона потрапила. Отже, маємо послідовність довжини m=k1+k2+...+kn, в якій номери 1, 2, ..., n повторюються k1, k2, ..., kn разів відповідно. Очевидно, що така функція відповідає розкладу кульок взаємно однозначно. Таким чином, розклад подається як перестановка з повтореннями складу (k1, k2, ..., kn).

Кількість перестановок з повтореннями з елементів множини A={a1, a2, ..., an} складу (k1, k2, ..., kn) позначається P(k1, k2, ..., kn) і виражається формулою:

P(k1, k2, ..., kn)= .

Означення. Біном Ньютона - це вираз вигляду (a+b)n.

Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. Школярі-восьмикласники знають формули розкладу бінома Ньютона в многочлен із степенями a і b при n=2 та 3:

(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

Спробуємо розкласти (a+b)n в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді, пронумерувавши дужки:

1 2 ... n

(a+b)(a+b)... (a+b).

Очевидно, що кожний доданок містить n множників - k множників a і n-k множників b, тобто має вигляд akbn-k, де k£n, k³0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка ми брали множники a. Таким чином, доданків akbn-k рівно стільки, скільки таких підмножин, тобто = . Отже,

(a+b)n =

Коефіцієнти при akbn-k називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)n.

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

= =. .

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

при b=1 маємо (a+1)n = ,

при a=b=1 маємо (1+1)n = 2n = ,

при a= -1, b=1 маємо (-1+1)n = 0n = (-1)k.

За останньою рівністю, зокрема, природно означити 00 як 1.

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, ..., 5 у трикутну таблицю:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

= +

Ця тотожність називається правилом додавання.

Таблиця біноміальних коефіцієнтів зображається ще у вигляді так званого арифметичного трикутника, або трикутника Паскаля:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

...


Розв'язування комбінаторних задач

СХЕМА РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КОМБІНАТОРНИХ ЗАДАЧ


Розглянемо деякі приклади застосування наведених формул.

Задача. Скільки трицифрових чисел можна утворити з допомогою трьох різних цифр, відмінних від 0.

Розв'язання

Відповідь. Шість трицифрових чисел можна утворити з допомогою трьох різних цифр, відмінних від 0.

Задача. Скількома способами можна розмістити 6 учнів за 6 партами по одному за партою?

Розв'язання

Відповідь. 720 способами можна розмістити 6 учнів за 6 партами по одному за партою

Задача. Скільки різних послідовностей із 3 букв можна скласти?

Розв'язання

Послідовності букв відрізняються між собою або буквами, або порядком їх розміщення. Отже слід знайти число розміщень з 33 елементів по 3 (вважаємо, що в алфавіті 33 букви).

Відповідь. 32736 різних послідовностей із 3 букв можна скласти.

Задача. Скількома різними способами можна вибрати з 30 чоловік делегацію в складі 3 осіб?

Розв'язання

Різними вважатимемо ті делегації, які відрізняються хоча б однією особою. Кількість комбінацій з 30 по 3:

Відповідь. 4060 різними способами можна вибрати з 30 чоловік делегацію в складі 3 осіб

Приклад.Знайти восьмий член розкладу (х-а)12.

Розв'язання

(х-а)12=(х+(-а))12.

За формулою бінома Ньютона маємо:

Відповідь. Восьмий член розкладу (х-а)12 становить -1584а7х5.

Приклади для самостійного розв'язування

Скiльки рiзних слiв можна скласти переставляючи лiтери у словi "математика", "парабола", "перемирря" ?

У поштовому вiддiленнi продаються листiвки 10 сортiв. Скiлькома способами можна купити в ньому 12 листiвок? Скiлькома способами можна купити 8 листiвок, 8 рiзних листiвок?

Скiльки рiзних 4-х значних чисел, якi дiляться на 4 можна скласти з цифр: 1,2,3,4,5, якщо кожна цифра може зустрiчатися у запису числа кiлька разiв?

Скiльки рiзних браслетiв можна скласти з 5 однакових смарагдiв, 6 однакових рубiнiв i 7 однакових сапфирiв. До браслету входять всi 18 каменiв.

Людина має 6 друзiв і на протязi 20 днiв щодня запрошує до себе 3 з них так, що компанiя жодного разу не повторюється. Скiлькома способами можна це зробити?

Компанiя, яка складається з 10 подружнiх пар розбивається на 5 груп по 4 людини для прогулянки на човнах. Скiлькома способами можна розбити компанію так, щоб в одному човнi були 2 чоловiкiв та 2 жiнок?

Тема 2.1. Матриці та визначники

Тема 2.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

2.1. Матриці та визначники

Література

1.Барковський В. В., Барковська Н. В. Математика для економістів: Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997. - 397 с. (с.72 - 97).

2.Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К. Г. Валеєв, І. А. Джалладова, О.І. Лютий та ін. - К.: КНЕУ, 1999. - 396 с. (с. 8 - 37).

3.Лейфура В. М. Математика: Підручник. / В. М. Лейфура, Г.І. Голодницький, Й.І. Файст; За ред. Лейфури В. М.- Київ: "Техніка", 2003. - 640 с. (с. 39 - 50).

4.Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г. Н. Яковлева. - М.: Наука, 1987. - 464 с. (с. 100 - 116).

5.Овчинников П. П. та ін. Вища математика: Підручник. - К.: Техніка, 2000. - 592 с. (с. 23 - 35, 64 - 79).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Розв'язування матричних рівнянь

· Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень


Розв'язування матричних рівнянь

Означення. Рівняння виду А∙Х = В; У∙С = Д, де А, В, С, Д - відомі матриці, а X, У - невідомі матриці називаються матричними рівняння.

Означення. Розв'язати матричне рівняння означає знайти невідому матрицю при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.

Розв'язування матричних рівнянь:

А∙Х = В | А-1 зліва У∙С = Д | С-1 справа

A-1∙A∙X = A-1∙B У∙С∙С-1 = Д∙С-1

А-1∙А = Е, Е - одинична матриця. О∙С-1 = Е

ЕХ = А-1В У∙Е = Д∙С-1

X = А-1 В У = Д∙С-1

А-1 і С-1 матриці обернені відповідно до матриць А і С.

Висновок:Таким чином, щоб розв'язати матричне рівняння необхідно знайти матриці обернені до матриць, що записані біля невідомих матриць і домножити праву частину на обернені матриці зліва або справа.

Приклад.Розв'язати матричне рівняння:

У (А - В) = 2А + В, в якому ;

Розв'язання

Позначимо матрицю С = А - В і знайдемо її:

С = А - В = - =

Позначимо матрицю Д = 2А + В і знайдемо її:

Д =2 А + В = 2 + = = + =

Рівняння приймає вигляд У ∙ С = Д → У = Д ∙ С-1

Знайдемо матрицю обернену матриці С.

Знайдемо алгебраїчні доповнення:

Тоді обернена матриця:

Знайдемо розв'язок рівняння:

Відповідь.

Приклади для самостійного розв'язування

Розв'язати матричні рівняння:

1. а) ; б)

2.А ∙ Х = В, в якому ;

3. а) (А + 2В) Х = А - В, в якому ;

б) (А + 2В) Х = А + В, в якому ;

в) У ∙ (А + В) = А2, в якому ;

 



Приклади. | Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати