Головна |
Ознака збіжності ЛейбніцаЯкщо для Знакозмінні ряду (7) виконані умови: 1. (Починаючи з деякого n), 2. , то ряд (7) сходиться. Приклад 9. Дослідити збіжність ряду . Рішення. Це Знакозмінні ряд, для якого виконані умови ознаки збіжності Лейбніца: , и , Тому ряд сходиться. Він сходиться умовно, тому що ряд, складений з абсолютних значень, є гармонійним , Який розходиться. Приклад 10. Дослідити збіжність ряду . Рішення. Розглянемо ряд, складений з абсолютних значень . Застосуємо до нього ознака збіжності Даламбера: 1, отже, цей ряд сходиться, тому вихідний ряд сходиться абсолютно. Приклад 11. Дослідити збіжність ряду . Рішення. Це Знакозмінні ряд. Складений з абсолютних значень ряд має вигляд . Порівняємо члени цього ряду з членами сходиться ряду Діріхле : . Відповідно до першого ознакою порівняння, ряд сходиться, тому вихідний ряд сходиться абсолютно. функціональні ряди Функціональним називається ряд , Членами якого є залежні від функції. Безліч значень аргументу , При яких ряд сходиться, називається областю збіжності ряду. Окремим випадком функціонального ряду є статечної ряд: , (8) де и - Речові числа. Для ряду (8) існує такий інтервал (званий інтервалом збіжності) з центром в точці , Всередині якого ряд (8) сходиться абсолютно, а при > ряд розходиться. число називають радіусом збіжності статечного ряду. радіус збіжності R в окремому випадку може бути дорівнює 0 або . На кінцях інтервалу збіжності степеневий ряд може як сходитися, так і розходитися. Для з'ясування питання про збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності достатньо застосувати до ряду відомі ознаки збіжності, вважаючи фіксованим і рівним . Приклад 12. Знайти область збіжності ряду . Рішення. Застосуємо до ряду ознака збіжності Даламбера і розглянемо межа: . якщо , То вихідний ряд сходиться абсолютно, тобто при 2 або на інтервалі . якщо , То ряд розходиться, тобто при . Перевіримо збіжність на кінцях інтервалу збіжності. при отримуємо числовий ряд: . Це Знакозмінні ряд, який сходиться за ознакою Лейбніца неабсолютно (див. Приклад 9). при отримуємо гармонійний ряд: , який розходиться. Відповідь: ряд сходиться при . Приклад 13. Визначити область збіжності ряду: . Рішення. Застосуємо до ряду ознака збіжності Даламбера і розглянемо межа: . Вихідний ряд сходиться абсолютно, якщо , Тобто при . Ряд розходиться, якщо , Тобто при . Розглянемо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. при отримуємо числовий ряд: . Це Знакозмінні ряд, для якого виконані умови ознаки збіжності Лейбніца: и . Тому ряд сходиться (сходиться умовно, тому що ряд розходиться, а множення всіх членів ряду на постійне число, відмінне від нуля, зовсім не впливає на збіжність). при отримуємо такий же сходиться ряд: . Відповідь: ряд сходиться при . Приклад 14. Визначити область збіжності ряду . Рішення. Розглянемо межа: . нерівність виконується при всіх значеннях , Тому область збіжності ряду . Інтегральний ознака Коші | Вимоги до виконання контрольної роботи Однорідне рівняння першого порядку | Лінійне рівняння першого порядку | рівняння Бернуллі | Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами | Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами | контрольні завдання | Розглянемо вираз виду | ознаки порівняння | ознака Даламбера | Радикальна ознака Коші | |