Головна

Ознака збіжності Лейбніца

  1.  I. Ознаки порівняння рядів
  2.  I. Спілкування і культура мови. Ознаки культури мовлення.
  3.  IV. Інтегральний ознака Коші
  4.  V. Ознаки одержимості дияволом
  5.  XV. Е. Трейсман. Теорія інтеграції ознак.
  6.  А темні окультисти навчаються з найперших кроків читати ознаки людських пристрастей і розбиратися в ступені дратівливості людини.
  7.  Абсолютно збіжні інтеграли другого роду. Теореми про збіжність.

Якщо для Знакозмінні ряду (7) виконані умови:

1.  (Починаючи з деякого n),

2. ,

то ряд (7) сходиться.

Приклад 9. Дослідити збіжність ряду .

Рішення. Це Знакозмінні ряд, для якого виконані умови ознаки збіжності Лейбніца: , и  , Тому ряд сходиться. Він сходиться умовно, тому що ряд, складений з абсолютних значень, є гармонійним  , Який розходиться.

Приклад 10. Дослідити збіжність ряду .

Рішення. Розглянемо ряд, складений з абсолютних значень  . Застосуємо до нього ознака збіжності Даламбера:

 1, отже, цей ряд сходиться, тому вихідний ряд сходиться абсолютно.

Приклад 11. Дослідити збіжність ряду .

Рішення. Це Знакозмінні ряд. Складений з абсолютних значень ряд має вигляд  . Порівняємо члени цього ряду з членами сходиться ряду Діріхле :

 . Відповідно до першого ознакою порівняння, ряд  сходиться, тому вихідний ряд сходиться абсолютно.

функціональні ряди

Функціональним називається ряд  , Членами якого є залежні від  функції. Безліч значень аргументу  , При яких ряд сходиться, називається областю збіжності ряду. Окремим випадком функціонального ряду є статечної ряд:

 , (8) де и  - Речові числа.

Для ряду (8) існує такий інтервал (званий інтервалом збіжності)  з центром в точці  , Всередині якого ряд (8) сходиться абсолютно, а при >  ряд розходиться. число  називають радіусом збіжності статечного ряду. радіус збіжності R в окремому випадку може бути дорівнює 0 або  . На кінцях інтервалу збіжності степеневий ряд може як сходитися, так і розходитися.

Для з'ясування питання про збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності достатньо застосувати до ряду відомі ознаки збіжності, вважаючи  фіксованим і рівним .

Приклад 12. Знайти область збіжності ряду .

Рішення. Застосуємо до ряду ознака збіжності Даламбера і розглянемо межа:

.

якщо  , То вихідний ряд сходиться абсолютно, тобто при  2 або на інтервалі .

якщо  , То ряд розходиться, тобто при .

Перевіримо збіжність на кінцях інтервалу збіжності.

при  отримуємо числовий ряд:

.

Це Знакозмінні ряд, який сходиться за ознакою Лейбніца неабсолютно (див. Приклад 9).

при  отримуємо гармонійний ряд:

,

який розходиться.

Відповідь: ряд сходиться при .

Приклад 13. Визначити область збіжності ряду:

.

Рішення. Застосуємо до ряду ознака збіжності Даламбера і розглянемо межа:

.

Вихідний ряд сходиться абсолютно, якщо  , Тобто при  . Ряд розходиться, якщо  , Тобто при .

Розглянемо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності.

при  отримуємо числовий ряд: .

Це Знакозмінні ряд, для якого виконані умови ознаки збіжності Лейбніца: и  . Тому ряд сходиться (сходиться умовно, тому що ряд  розходиться, а множення всіх членів ряду на постійне число, відмінне від нуля, зовсім не впливає на збіжність).

при  отримуємо такий же сходиться ряд:

.

Відповідь: ряд сходиться при .

Приклад 14. Визначити область збіжності ряду .

Рішення. Розглянемо межа:

.

нерівність  виконується при всіх значеннях  , Тому область збіжності ряду .

 Інтегральний ознака Коші |  Вимоги до виконання контрольної роботи


 Однорідне рівняння першого порядку |  Лінійне рівняння першого порядку |  рівняння Бернуллі |  Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами |  Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами |  контрольні завдання |  Розглянемо вираз виду |  ознаки порівняння |  ознака Даламбера |  Радикальна ознака Коші |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати