На головну

 Заміна зміною в невизначеному інтегралі |  Інтегрування по частинах в невизначеному інтегралі |  Інтегрування раціональних дробів |  Інтегрування тригонометричних функцій |  Інтегрування деяких ірраціональних функцій |  ТЕМА 6. ПЕВНИЙ ІНТЕГРАЛ |  Властивості визначеного інтеграла |  Заміна змінної в певному інтегралі |  Площа плоскої фігури |  Обсяг тіла обертання |

ТЕМА 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

  1.  I Диференціальні рівняння.
  2.  I. Диференціальні рівняння 1-го порядку.
  3.  I. Розрахунки за рівняннями реакцій
  4.  II. Диференціальні рівняння вищих порядків.
  5.  S: Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд
  6.  Аналіз коренів характеристичного рівняння перехідного процесу, вид перехідного процесу при різних коренях.
  7.  Базовий підхід до пошуку спільного рішення диференціального рівняння з допомогою рядів

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує між собою незалежні змінні, шукану функцію (або диференціал) і її похідні. Звичайне диференціальне рівняння має наступний вигляд:

 (1)

тут  незалежна змінна,  шукана функція і її похідні аж до похідної порядку .

Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної (або диференціалу), що входить в рівняння (число  у формулі (1)). Так, рівняння  є диференціальним рівнянням другого порядку.

Рішенням диференціального рівняння називається така функція, яка при підстановці в рівняння звертає їх у тотожність.

спільним рішеннямдіфференціальногоуравненіяназивается рішення, що містить стільки довільних постійних, який порядок рівняння. Загальне рішення диференціального рівняння (1) має вигляд:

 , (2)

де  довільні постійні, або постійні інтегрування.

Якщо рішення рівняння (1) отримано в неявному вигляді

 , (3)

то таке рішення називається загальним інтегралом рівняння (1).

приватним рішенням диференціального уравненіяназивается рішення, отримане ізобщего вибором конкретних значень довільних постійних.

завданням Коші для диференціального рівняння (1) називається задача відшукання рішення  цього рівняння, що задовольняє наступним початковим умовам:

 (4)

Число початкових умов одно порядку рівняння, що дозволяє визначити всі довільні постійні в загальному рішенні (2).

Графік кожного приватного рішення в площині  представляє лінію, звану інтегральної кривої, а сукупність всіх інтегральних кривих утворює сімейство інтегральних кривих.

Розглянемо рівняння (1) у вигляді, дозволеному відносно старшої похідної:

 . (5)

теорема. Якщо в деякому околі точки  функція  визначена і має безперервні приватні похідні по змінним  , То в цій околиці завдання Коші має єдине рішення.

особливим рішенням диференціального рівняння називається рішення, в кожній точці якого порушуються умови теореми існування і єдиності. Воно не може бути отримано із загального підбором значень довільних постійних.

лінійним називається диференціальне рівняння, лінійне відносно шуканої функції і її похідних:

,

де ,  деякі функції, безперервні в деякій області .

при  рівняння називається однорідним, в інших випадках неоднорідним.

При сталості коефіцієнтів  рівняння називається рівнянням з постійними коефіцієнтами.

Диференціальні рівняння першого порядку



 контрольні завдання |  Рівняння з відокремлюваними змінними
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати