загрузка...
загрузка...
На головну

 Методичні вказівки до вивчення дисципліни |  ТЕМА 1. МЕЖА ФУНКЦІЇ |  Рішення. Невизначеність виду. При ~. Тому ~. |  ТЕМА 5. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ |  Властивості невизначеного інтеграла |  безпосереднє інтегрування |  Інтегрування шляхом підведення під знак диференціала |  Заміна зміною в невизначеному інтегралі |  Інтегрування по частинах в невизначеному інтегралі |  Інтегрування раціональних дробів |

ТЕМА 3. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ І ПОБУДОВА ГРАФІКА

  1.  I. дисфункції бюрократії як організації
  2.  I. Знайти межі функції.
  3.  II Етап. Графічне зображення ряду і емпіричної функції розподілу.
  4.  II. Обчислення похідних ФУНКЦІЇ одного аргументу
  5.  II. Дисфункції бюрократії як соціальної групи
  6.  II. ДОСЛІДЖЕННЯ РОЗВИТКУ ПАМ'ЯТІ
  7.  II. Межа і неперервність функції

Внутрішня точка  інтервалу  називається точкою максимуму (мінімуму) функції  , Якщо існує таке  , Що для всіх  з інтервалу  , Що міститься всередині інтервалу  , Виконується нерівність (  ). Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму (Локального екстремуму) функції. Точки, в яких похідна звертається в нуль, називають стаціонарними точками.

Наведемо формулювання теорем, які використовуються при дослідженні функцій.

Достатня умова суворого зростання (спадання) функції.

якщо (  ) В інтервалі  , то  строго зростає (убуває) в цьому інтервалі.

Проміжки, в яких функція зростає (спадає), називаються проміжками монотонності функції. Щоб знайти проміжки монотонності функції необхідно:

1. Визначити область визначення функції;

2. знайти похідну функції;

3. прирівняти похідну до нуля і визначити її коріння (стаціонарні точки), А також знайти точки, в яких похідна не існує, а функція визначена;

4. визначити знак похідної в кожному з проміжків, на які розбивається отриманими точками область визначення функції.

Необхідна умова екстремуму функції

якщо функція  диференційована в точці  і досягає в цій точці максимуму (мінімуму), то .

Точками екстремуму можуть бути тільки ті точки, в яких похідна дорівнює нулю, або не існує. Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають точками, підозрілими на екстремум, або критичними точками.

Достатні умови екстремуму функції

Якщо при переході через точку  , Підозрілу на екстремум, похідна змінює знак, то точка  є точкою екстремуму. При цьому якщо в деякій околиці точки  для и  для  , то  є точкою максимуму. Якщо ж в цій околиці  для и  для  , то  - Точка мінімуму.

Іншим достатньою ознакою існування екстремуму в стаціонарній точці  є умова  (Тоді це точка максимуму) і  (Тоді це точка мінімуму). При цьому вважається, що  має безперервну другу похідну в деякій околиці точки .

Графік функції  називаєтьсяопуклим в інтервалі  , Якщо він розташований нижче дотичної проведеної в будь-якій точці цього інтервалу (рис.1)

Графік функції  називається увігнутимв інтервалі , якщо він розташований вище дотичній, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу. (Рис. 2)

Достатні умови опуклості (угнутості) графіка функції

якщо  в інтервалі , то графік функції є опуклим в цьому інтервалі; якщо ж  , То в інтервалі  графік функції увігнутий.

Крапка  графіка функції, яка відокремлює його опуклу частину від увігнутої, називається точкою перегину.якщо  - абсциса точки перегину графіка функції , То друга похідна дорівнює нулю або не існує в цій точці. Точки, в яких  або  не існує, називаються критичними точками другого роду.

Якщо при переході через критичну точку другого роду  друга похідна змінює знак, то точка  є точка перегину.

пряма l називається асимптотой кривої y = f (x), якщо відстань точки м (х, у) на кривій від прямої l прямує до нуля при необмеженому видаленні цієї точки по кривій від початку координат, (т. е. при прагненні хоча б однієї з координат точки до нескінченності).

пряма євертикальної асимптотой кривої y = f (x), якщо:

 або .

пряма є горизонтальної асимптотой кривої y = f (x), Якщо існує  або .

пряма  є похилій асимптотой кривої y = f (x), Якщо існують межі:

або .

При дослідженні функції і побудові її графіка зручно дотримуватися наступного плану.

1. Знайти область визначення функції.

2. Визначити парність (непарність), періодичність

функції.

3. Знайти точки розриву.

4. Визначити точки перетину графіка з осями

координат.

5. Знайти точки екстремуму і обчислити значення

функції в цих точках.

6. Визначити інтервали зростання і спадання

функції.

7. Знайти точки перегину, інтервали опуклості і

угнутості.

8. Визначити асимптоти.

9. Знайти граничні значення функції при аргументі,

яка прагне до кордонів області визначення.

У процесі дослідження функції не обов'язково суворо дотримуватися наведеної схеми.

Приклад. дослідити функцію  і побудувати її графік.

Рішення.

Ця функція визначена і неперервна на всій осі ОХ, За винятком точки  , Де вона терпить нескінченний розрив. Отже, пряма  є вертикальною асимптотой. оскільки и  , То розглянута функція не є ні парною, ні непарною, тобто це функція загального вигляду. Крапка (0,0) є точкою перетину функції з осями координат.

Обчислимо похідну: .

Похідна наближається до нуля при и .

Побудуємо інтервали монотонності (рис. 3):

Мал. 3

Функція зростає при  і убуває при  . Крапка  - точка максимуму, а точка  - точка мінімуму функції.

Знайдемо другу похідну:

.

Друга похідна в нуль ніде не звертається, але при переході через точку  змінює свій знак з мінуса на плюс. Отже, в інтервалі  графік функції опуклий, а в інтервалі  - увігнутий. Точок перегину функція не має.

З'ясуємо, чи має функція похилі асимптоти. ,

.

Отже, пряма  є похилій асимптотой при  . Легко перевірити, що ця ж пряма є похилою асимптотой при .

Побудуємо графік досліджуваної функції:

 Мал. 4



 ТЕМА 2. ОСНОВИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ |  ТЕМА 4. ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати