Головна

 МАТЕМАТИКА |  Основні методи інтегрування |  Геометричні застосування визначеного інтеграла |  Рішення. |  Поверхні рівня і лінії рівня в скалярному полі. Похідна за напрямком і градієнт |  Формула Тейлора функції двох змінних. Екстремуми функції декількох змінних. |  Контрольна робота № 3. Завдання. |  Рівняння з розділеними і перемінними |  Однорідні рівняння першого порядку |  Лінійні рівняння першого порядку |

Лінійні, неоднорідні рівняння другого порядку

  1.  I Диференціальні рівняння.
  2.  I-го порядку.
  3.  I. Диференціальні рівняння 1-го порядку.
  4.  I. Розрахунки за рівняннями реакцій
  5.  II. Диференціальні рівняння вищих порядків.
  6.  III. Система лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку з постійними коефіцієнтами.
  7.  S: Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд

[2, гл. ХШ, § 23,24, упр. 148-157].

приклад 7. Знайти спільне рішення рівняння

Рішення. Знаходимо спочатку спільне рішення відповідного однорідного рівняння

характеристичне рівняння  його коріння

Загальне рішення однорідного рівняння

Тепер слід знайти приватне рішення  неоднорідного рівняння. права частина  значить  шукаємо в формі  , Тому що  не є коренем характеристичного рівняння.

Потрібно знайти невідомі коефіцієнти А і В. Для визначення А і В диференціюючи двічі

і підставляємо це в даний неоднорідне рівняння:

Так як  то скоротивши  , Отримаємо тотожне рівність двох поліномів

Значення А і В знайдемо, прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях  в лівій і правій частинах

при х :

при х0:

Підставляємо знайдені А і В у

Загальне рішення неоднорідного рівняння

приклад 8. Знайти спільне рішення рівняння

Рішення. Відповідне однорідне рівняння

вирішуємо його

Права частина даного неоднорідного рівняння

Отже, приватне рішення  розшукуємо у вигляді

,

тому  не є рішенням характеристичного рівняння.

Диференціюючи і підставляємо це рішення в неоднорідне рівняння

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових тригонометричних функціях в лівій і правій частинах тотожності

при

при

З цієї системи знаходимо А і В

Загальне рішення

приклад 9. Знайти приватне рішення рівняння  задовольняє початковим умовам

Рішення. Щоб знайти приватне рішення, яке задовольняє заданим початковим умовам, необхідно отримати спочатку спільне рішення даного неоднорідного рівняння. Знаходимо його (див. Приклад 8)

підставляємо  в рівняння

Шукане приватне рішення будемо знаходити із загального. Загальне рішення неоднорідного рівняння

Підставляємо початкові умови. при  маємо

Знайдені постійні підставляємо в загальне рішення неоднорідного рівняння

- Шукане приватне рішення.

 



 Лінійні однорідні рівняння другого порядку |  Контрольна робота № 4. Завдання.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати