На головну

 Обчислення довжини дуги плоскої кривої |  Глава IX. невласні інтеграли |  Властивості невласних інтегралів I роду |  Ознака порівняння. |  Основні визначення і приклади |  Необхідна ознака збіжності числового ряду. Операції над числовими рядами |  Знакоположітельние ряди |  Знакозмінні ряди |  знакозмінні ряди |  Основні визначення і приклади |

Ряди Тейлора і Маклорена. Розкладання функцій в ряд Тейлора і Маклорена

  1.  V. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ І ПОБУДОВА ЇХ ГРАФИКОВ
  2.  VII Найбільше і найменше значення функцій
  3.  VII Розкладання реалістичного театру
  4.  А) психологічна структура Б) опис функцій
  5.  А. Розкладання потенціалу електричного поля по мультиполя. Перший і другий члени розкладання
  6.  АГ при розладах ендокринних функцій гіпоталамо-гіпофізарної системи
  7.  Алгоритми функцій, які виконуються в станціях з програмним керуванням

визначення 11.4

нехай функція y = f (x) має в деякій околиці точки x0 похідні будь-якого порядку.

ряд виду  називається поруч Тейлора для функції f (x).

Якщо ж для всіх значень x з деякої околиці точки x0 ряд сходиться і має в якості суми функцію f (x), тобто

= f (x), то функція f (x) називається разложимой в ряд Тейлора в околиці точки x0 (Або за ступенями x-x0).

якщо x0= 0, то ряд Тейлора має вигляд

 і називається поруч Маклорена для функції f (x).

Теорема 11.3.

Для того щоб функція y = f (x) була разложима в ряд Тейлора в околі точки x0, Необхідно і достатньо, щоб  , де Rn - залишковий член формули Тейлора (залишковий член у формі Лагранжа має вигляд ,  ).

Теорема 11.4.

якщо f (x) має в деякому проміжку, що містить точку x0, Похідні всіх порядків, для яких |f(n)(X) | ?M, То функція f (x) разложима в цьому проміжку в ряд Тейлора.

При розкладанні функції f (x) в ряд Тейлора застосовують такі прийоми:

1. Безпосереднє розкладання f (x) в ряд Тейлора, яке складається з трьох етапів:

а) формально складають ряд Тейлора, для чого знаходять f(n)(X) для будь-яких n, обчислюють f(n)(x0) і підставляють знайдені значення в ряд;

б) знаходять область збіжності ряду Тейлора;

в) з'ясовують, для яких значень x з області збіжності ряду

 , Тобто, для яких x має місце рівність:

2. Використання готових розкладів в ряд Маклорена:

а) /R;

б) /R;

в) /R;

г) /R;

 д)

е) ;

ж) ;

Приклад 11.6.

розкладемо функцію  в ряд Тейлора в околі точки x =2. Вирішимо цю задачу двома способами.

I спосіб.

Використовуємо безпосереднє розкладання функції в ряд Тейлора:

;

;

.................................................. ....

.................................

Обчислимо знайдені похідні в точці x =2:

.

Складемо формально ряд Тейлора:

.

Знайдемо область збіжності ряду, використовуючи ознака Даламбера:

.

Цей результат буде справедливий при будь-яких x, Отже, даний ряд сходиться на всій числовій осі, тобто /R.

Доведемо, що при всіх x ряд сходиться до  , Для чого достатньо показати, що  при :

 при .

Як результат рішення задачі можемо записати:

/R.

II спосіб.

розкладемо  в ряд Тейлора в околі точки x =2, використовуючи готове розкладання.

перетворимо  наступним чином:

.

В ряд Маклорена для cosx (формула в)) справа і зліва замість x підставимо  , Тоді отримаємо:

/R.

При розкладанні функції в ряд часто використовують почленное диференціювання та інтегрування рядів.

Приклад 11.7.

Розкласти в ряд Маклорена функцію f (x) = arctgx.

Попередньо розкладемо в ряд Маклорена функцію  , Для чого в формулі ж) замінимо x на  , Тоді отримаємо

 , звідки

.

Глава XII. Звичайні диференціальні рівняння

Основні поняття і визначення

Визначення 12.1.

Звичайним диференціальним рівнянням (диференціальним рівнянням) Називається рівняння, що містить незалежну змінну x, Невідому функцію y і її похідні

порядком n рівняння називається порядок старшої похідної, що входить в рівняння.

Визначення 12.2.

рівняння  називається диференціальним рівнянням n-го порядку вобщем вигляді.

рівняння  називається диференціальним рівнянням n-го порядку в нормальній формі.

Визначення 12.3.

рішенням рівняння n-го порядку називається функція  , Безперервна разом зі своїми похідними до порядку n включно на деякому інтервалі (a; b) І звертає дане рівняння в тотожність.

Графік рішення на площині xОy називається інтегральної кривої.



 Статечні ряди. Властивості степеневих рядів |  Диференціальні рівняння першого порядку. Класифікація рішень
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати