Головна

 Інтегрування по частинах в певному інтегралі. |  Обчислення площі плоскої фігури |  Обчислення довжини дуги плоскої кривої |  Глава IX. невласні інтеграли |  Властивості невласних інтегралів I роду |  Ознака порівняння. |  Основні визначення і приклади |  Необхідна ознака збіжності числового ряду. Операції над числовими рядами |  Знакоположітельние ряди |  Знакозмінні ряди |

Основні визначення і приклади

  1.  B.1.1 Основні положення
  2.  ER-модель бази даних. Основні нотації зображення ER-моделі.
  3.  I Основні категорії педагогіки
  4.  I Розрахунок витрат для визначення повної собівартості вироби (роботи, послуги), визначення рентабельності його виробництва
  5.  I. Основні положення
  6.  I. Основні принципи
  7.  I. ОСНОВНІ СТРАХОВІ ПОНЯТТЯ

Визначення 11.1.

ряд  , Членами якого є функції від x, Певні на безлічі D, називається функціональним рядом.

Якщо числовий ряд  сходиться при  , то x0 називається точкойсходімості ряду.

безліч Х всіх точок збіжності ряду  називається областю збіжності ряду.

Визначення 11.2.

Якщо для будь-якого  існує межа  , де  - Приватні суми ряду, то кажуть, що ряд сходиться на безлічі X к S (x). При цьому функція S (x) називається сумою ряду .

Для знаходження області збіжності ряду  можна використовувати еталонні ряди і достатні ознаки збіжності числових рядів.

Приклад 11.1.

Знайдемо область збіжності ряду .

Даний ряд є узагальненим гармонійний ряд, який сходиться при x> 1 і розходиться при x?1. Областю X збіжності ряду є інтервал (1; + ?).

Приклад 11.2.

Знайдемо область збіжності ряду .

Даний ряд є геометричною прогресією з q = lnx, Яка сходиться, якщо | q | = | Lnx | <1, звідки  . Область X збіжність ряду - інтервал .

Приклад 11.3.

Знайдемо область збіжності ряду .

Для знаходження області збіжності даного ряду використовуємо ознака Даламбера, який можна застосовувати лише до рядів з додатними членами. Складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду:

 і до нього можна застосувати ознака Даламбера (теорема 10.6).

маємо .

ряд  буде сходитися, якщо  , Звідки -2

-4

Тоді вихідний ряд буде сходитися, і до того ж абсолютно в інтервалі

(-4,0).

при  цей ряд розходиться, що не задовольняє необхідному ознакою збіжності (q> 1) (наслідок до теоремі 10.2).

Якщо q = 1, то відповіді про збіжність ряду ознака Даламбера не дає і при x = -4 і x = 0 ряд потрібно досліджувати окремо.

При x = -4 з вихідного ряду отримаємо числовий ряд =

 , Який сходиться як ряд Лейбніца (див. Приклад 10.15).

При х = 0 з ряду  отримаємо  , Який є гармонійним рядом, а значить, розходиться (див. Приклад 10.4.).

Отже, областю Х збіжності ряду  буде проміжок [-4; 0).



 знакозмінні ряди |  Статечні ряди. Властивості степеневих рядів
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати