Головна

 Глава VII. Визначений інтеграл |  Інтегрування по частинах в певному інтегралі. |  Обчислення площі плоскої фігури |  Обчислення довжини дуги плоскої кривої |  Глава IX. невласні інтеграли |  Властивості невласних інтегралів I роду |  Ознака порівняння. |  Основні визначення і приклади |  Необхідна ознака збіжності числового ряду. Операції над числовими рядами |  Знакоположітельние ряди |

знакозмінні ряди

  1.  Знакозмінні і Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.
  2.  знакозмінні ряди
  3.  знакозмінні ряди
  4.  Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність.
  5.  Знакозмінні ряди. Числовий ряд називається знакозмінних, якщо його члени можуть мати як позитивні, так і негативні знаки.
  6.  Лекція 12. Знакозмінні ряди.

Визначення 10.6.

ряд  називається знакозмінних, Якщо членами його є будь-які дійсні числа.

Визначення 10.7.

ряд  називається абсолютно збіжним, Якщо сходиться ряд .

Теорема 10.10.(Ознака абсолютної збіжності)

Дан ряд  , un . Якщо сходиться ряд  , То сходиться і ряд .

Зауваження 10.5.

Так як Знакозмінні ряд - окремий випадок знакозмінного ряду, то і до Знакозмінні ряду можна застосувати ознака абсолютної збіжності.

Приклад 10.14.

Досліджуємо збіжність ряду .

Даний ряд знакозмінний. Застосуємо до нього ознака абсолютної збіжності.

Складемо ряд з абсолютних величин членів вихідного ряду:  . Цей знакоположітельний ряд порівняємо в неграничними формі з рядом  , Який являє собою геометричну прогресію з  , Отже,  сходиться.

Маємо очевидне нерівність  , Звідки ряд  також сходиться, а значить, за ознакою абсолютної збіжності вихідний ряд сходиться абсолютно.

Визначення 10.8.

якщо ряд  сходиться, а ряд  розходиться, то ряд  називається умовно збіжним.

Приклад 10.15.

Досліджуємо на абсолютну або умовну збіжність так званий ряд

Лейбніца .

За ознакою Лейбніца цей ряд сходиться, так як для нього виконуються обидві умови цієї ознаки:

а)  і б) .

Але ряд, складений з абсолютних величин даного ряду  є гармонійним, а значить, розходиться.

Отже, ряд Лейбніца сходиться умовно.

Теорема 10.11.

У сходиться (абсолютно або умовно) ряді можна групувати члени, не змінюючи їх порядку. Іншими словами, якщо сходиться ряд u1+ u2+ ... + Un+ ..., То сходиться і ряд (u1+ u2+ ... + Un) + (Un+1+ un+2+ ... + Ul) + (Ul+1+ ul+2+ ... + Um) + ..., Причому обидва ряди мають одну і ту ж суму.

Теорема 10.12.

Абсолютно сходиться ряд залишається сходящимся і зберігає суму за будь-якої перестановці його членів.

Теорема 10.13.

В умовно сходиться ряді при відповідній перестановці його членів можна зробити його суму рівній будь-якого наперед заданого числа або зробити ряд розходиться.

Визначення 10.9.

твором рядів и  називається ряд  , де wn= u1vn+ u2vn-1+ ... + Unv1.

Теорема 10.14.

Якщо перемножуємо ряди сходяться абсолютно, то ряд-твір сходиться також абсолютно і має суму, що дорівнює добутку сум рядів-співмножників.

Глава XI. функціональні ряди



 Знакозмінні ряди |  Основні визначення і приклади
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати