На головну

 Інтегрування найпростіших функцій, що містять квадратний тричлен |  Інтегрування раціональних дробів |  Інтегрування деяких тригонометричних функцій |  Інтегрування деяких ірраціональних функцій |  Інтегрування диференціальних биномом. |  Глава VII. Визначений інтеграл |  Інтегрування по частинах в певному інтегралі. |  Обчислення площі плоскої фігури |  Обчислення довжини дуги плоскої кривої |  Глава IX. невласні інтеграли |

Ознака порівняння.

  1.  I. Ознаки порівняння рядів
  2.  I. спілкування і культура мовлення. Ознаки культури мовлення.
  3.  IV. Інтегральний ознака Коші
  4.  V. Ознаки одержимості дияволом
  5.  XV. Е. Трейсман. Теорія інтеграції ознак.
  6.  А темні окультисти навчаються з найперших кроків читати ознаки людських пристрастей і розбиратися в ступені дратівливості людини.
  7.  Акти правотворчості. Поняття, ознаки та види нормативно-правових актів.

Нехай дано два невласних інтеграла ,  , Підінтегральної функції яких задовольняють нерівності  для всіх х  [A, + ?). Тоді з збіжності інтеграла  слід збіжність інтеграла  , А з розбіжність інтеграла  слід расходимость інтеграла

Приклад 9.3.

Досліджуємо на збіжність невласний інтеграл .

Зауважимо, що  для всіх хI [1, ?]. В силу розглянутого раніше інтеграл  сходиться, так як  , Значить і вихідний інтеграл сходиться.

Приклад 9.4.

 Досліджуємо на збіжність невласний інтеграл .

 Маємо або для всіх хI [2, ?].

інтеграл  розходиться, так як  . За ознакою порівняння вихідний невласний інтеграл також розходиться.

2) Ознака еквівалентності.

Якщо існує кінцевий межа  для подинтегральних функцій невласних інтегралів и  , То ці інтеграли сходяться або розходяться одночасно.

Зокрема, ці умови виконуються, якщо K= 1, тобто f (x) и g (x) еквівалентні (f (x) ~ g (x) при х > + ?).

Приклад 9.5.

Досліджуємо на збіжність невласний інтеграл .

маємо f (x) = .

невласний інтеграл  розходяться, так як ? =  <1, отже, розходиться і вихідний інтеграл.

9.4. Невласні інтеграли II роду (Від необмежених функцій)

 нехай функція  задана на проміжку [a, b), не обмежена при  і для будь-якого e> 0 існує.

Визначення 9.3.

Невласних інтегралом II-го роду від функції f (x) на проміжку [A, b) називається.

позначення: .

При цьому говорять, що невласний інтеграл сходиться, Якщо ця межа кінцевий і розходиться, Якщо він не існує або дорівнює нескінченності.

Зауваження 9.2.

Розглянуті властивості і ознаки збіжності для невласних інтегралів I роду вірні і для невласних інтегралів II роду.

Приклад 9.6.

 Досліджуємо на збіжність невласний інтеграл .

функція  не обмежена при  . для будь-якого  вихідний інтеграл по проміжку  є певним, тобто

.

Розглянемо вихідний невласний інтеграл:

Таким чином, вихідний інтеграл розходиться при ? ? 1 і сходиться при .

Зауваження 9.3.

Аналогічно, якщо функція f (x) задана на проміжку (a, b] і не обмежена при х > а, то .

якщо функція  не обмежена в деякій проміжній точці  , То невласний інтеграл

.

Приклад 9.7.

Дослідити на збіжність невласний інтеграл.

Зауважимо, що підінтегральна функція є необмеженою при x =0. Тоді даний інтеграл розпадається на два невласних інтеграла:

Оскільки кожен з меж дорівнює нескінченності, вихідний інтеграл буде розходитися.

Приклад 9.8.

Досліджуємо на збіжність інтеграл.

Для даного інтеграла застосуємо ознаку еквівалентності. Підінтегральна функція не задана в точці х = 0.

 маємо f (x) =

 За ознакою еквівалентності два невласних інтеграла. . і

сходяться або розходяться одночасно. Інтеграл є збіжним, так як тут  , А значить, вихідний інтеграл сходиться.

 



 Властивості невласних інтегралів I роду |  Основні визначення і приклади
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати