Головна |
Лекція 6. Формула Гріна.Теорема (формула) Гріна. Нехай G - плоска однозв'язна область з кусково-гладкою межею L. Нехай функції P (x, y), Q (x, y) неперервні і мають безперервні приватні похідні за своїми змінним в області G і на L. Тоді справедлива формула Гріна . Доведення. 1) Назвемо плоску область D (в площині OXY) правильної, якщо будь-яка пряма, паралельна координатної осі (OX або OY) перетинає область не більше, ніж в двох точках. Можна показати, що область G можна представити як об'єднання кінцевого числа правильних областей . Тоді за властивістю адитивності подвійний інтеграл в правій частині формули Гріна дорівнює сумі подвійних інтегралів по правильним областям. Криволінійний інтеграл в лівій частині дорівнює сумі криволінійних інтегралів по межах правильних областей, так як криволінійні інтеграли за загальними кордонів будь-яких правильних областей різні за знаком через різних напрямків обходу кордону і взаємно знищуються при підсумовуванні. Тому доказ може бути проведено для правильної області G. 2) Нехай G - правильна область. Так як P, Q можуть бути довільними функціями, то формула Гріна зводиться двома формулами и , Кожну з яких треба довести. Доведемо першу формулу, друга доводиться аналогічно.
Обчислення криволінійного інтеграла другого роду. | Обчислення площі області за формулою Гріна. Обчислення потрійного інтеграла в декартовій системі координат. | Лекція 4. Додатки потрійного інтеграла. | Циліндрична система координат. | Сферична система координат. | Додатки потрійного інтеграла. | Лекція 5 Криволінійні інтеграли 1 та 2 роду, їх властивості .. | Властивості криволінійного інтеграла першого роду. | Обчислення криволінійного інтеграла першого роду. | Криволінійний інтеграл 2 роду. | Властивості криволінійного інтеграла 2 роду. | |