Головна |
геометрична ймовірністьФормула класичної ймовірності застосовується тільки в схемі випадків, що зустрічається досить рідко. ставлення р (А) = NA/ N являє собою «частку» сприятливих результатів серед всіх можливих результатів. Аналогічним чином підраховують ймовірність події в деяких більш складних випадках, коли є нескінченне число равновозможних результатів.
Приклад. Завдання про зустріч. Два студента домовилися зустрітися від 10 до 11 годин на певному місці, причому перший прийшов на місце чекає товариша 15 хвилин і йде. Яка ймовірність зустрічі? Виберемо початок системи координат в точці (10, 10). Відкладемо по осях системи координат x- час приходу першого студента, y - час приходу другого студента. Тоді безліч | x-y | <1/4, 0 містить точки (події) зустрічі студентів. Його міра (площа) mesA дорівнює 1 (3/4)2 = 7/16. Так як mesW = 1, то P (A) = 7/16. статистична ймовірність Формули класичної ймовірності і геометричній ймовірності справедливі тільки для випадку равновозможних результатів. Насправді ми на практиці маємо місце з неравновозможнимі наслідками. У цих випадках можна визначити ймовірність випадкової події, використовуючи поняття частоти події. Припустимо, що нам потрібно визначити ймовірність того, що в випробуванні відбудеться подія А. Для цього в однакових умовах проводяться випробування, в кожному з яких можливі два результати: А и . частотою події А будемо називати відношення числа NA випробувань, в яких зафіксовано подія А до загальної кількості N випробувань. Ймовірністю події А називається межа частоти події А при необмеженому збільшенні числа випробувань n , т. е. . так визначається статистична ймовірність події. Зауважимо, що за класичним, геометричному і статистичному визначень для ймовірності події P (A) виконані три основні властивості: P (A) ?0, 2) P (W) = 1, 3) P (A1+ ... + An) = P (A1) + ... + P (An), Якщо A1, An попарно несумісні. Однак в цих визначеннях елементарні події передбачаються рівно можливими. А. н. Колмогоров відмовився від припущення рівно можливих елементарних подій, ввів сигма-алгебру подій і поширив третя властивість на рахункове число подій. Це дало можливість дати аксіоматичне визначення ймовірності події. Аксіоматичне визначення ймовірності(По А. н. Колмогорова). Ймовірністю P (A) називається числова функція, задана на сигма - алгебри подій, що задовольняє трьом аксіомам: 1) нейтрально P (A) ?0, "AIB - сигма - алгебрі подій на W 2) нормування P (W) = 1 3) розширена аксіома складання: для будь-яких попарно несумісних подій A1... An ... виконано P (A1+ ... + An+ ...) = P (A1) + ... + P (An) + ... (Лічильна адитивність). Отже, по А. н. Колмогорова ймовірність (імовірнісна міра) це числова неотрицательная нормована лічильно - адитивна функція (безлічі - події), задана на сигма - алгебри подій. Якщо W складається з кінцевого або рахункового числа подій, то в якості сигма - алгебри B може розглядатися алгебра S подій. Тоді аксіомі 3 ймовірність будь-якої події A дорівнює сумі ймовірностей елементарних подій, що становлять A. імовірнісним просторомназивається трійка (W, B, P). Класичне визначення ймовірності події | властивості ймовірності
імовірність | Дії над подіями. | Властивості операцій над подіями | Дистрибутивність операції множення щодо складання | Алгебра подій. | Умовна ймовірність. | Теорема множення ймовірностей). незалежні події | Формула ймовірності суми спільних подій | Формула повної ймовірності | випадкові величини | |