На головну

Геометричний сенс диференціала функції в точці.

  1.  Exercise 3. Заповніть пропуски відповідними за змістом словами з правої колонки і переведіть пропозиції.
  2.  Exercise 6. Завершіть пропозиції, вставивши необхідні за змістом слова у відповідній формі (одне слово використовується двічі). Переведіть пропозиції на російську мову.
  3.  Exercise 6. Складіть вирази з двох підходять за змістом частин. Переведіть вираження.
  4.  I. дисфункції бюрократії як організації
  5.  I. Знайти межі функції.
  6.  II Етап. Графічне зображення ряду і емпіричної функції розподілу.
  7.  II етап. Читання і осмислення тексту

Нехай функція f визначена на деякому інтервалі (а; b), що включає в себе т.t, т. Е. T -внутрішнє точка D (f).

Обчислимо f (х).

f (х) = f (t + ?х) від-ся від f (х) на прирощеної функції ?у = f (x) -f (t) = f (t + ?х) -f (t), де ?х і ?у - цілісні символи.

Опр.1. Похідною функції f (х) в т. T зв. межа при х > 0 відносини ?х / ?у, якщо він існує і кінцевий.

Функція при цьому зв. диференційованої в т.t.

Опр.2.Функція f зв. диференційованої в т. t, якщо її приріст ?у можна представити у вигляді: ?у = А ?х + ? (?х) * ?х (2), де А- постійна.

? (?х) > 0 при ?х > 0

теорема 1. Функція f диффер-на в т.t в сенсі формули (2) тоді і тільки тоді, коли у неї в цій точці існує похідна (1), причому А = f '(T)

Док-во: 1. (2) => (1)

Виконано (2), т. Е. Існує А-соnst, ? (?х) > 0 при ?х > 0.

Розглянемо ?х ? 0: t + ?х € (а; b)

Поділимо (2) на ?х. Висловимо А: А = ?х / ?у-? (?х) = f (t)

число  (1)

виконано (1) ?х / ?у-f '(1) = ? (?х), де ? (?х) > 0 при ?х > 0

Помножимо на ?х ? 0, отримаємо ?у-f '(T) * ?х = ? (?х) * ?х

Перепишемо ?у = f (t) * ?х + ? (?х) * ?х

Отримаємо (2), де А = f '(T).

За опр.2 функція f диф-ма в т. T.

Опр. з. Диференціалом незалежної змінної зв. довільне збільшення незалежної змінної (аргументу) d (х) = ?х

Опр.4. Диференціалом функції f (х) наз. твір її похідної на диференціал аргументу D у = df (x) = f '(Х) d (х). Диференціал аргументу збігається з приростом аргументу, а диференціал функції в загальному випадку не збігається з її приростом.

приклад: Y = x => y '= 1 => dy = 1 * ?x = ?x

Геом. сенс диференціала функції. Функція передбачається диференційованої в т. Х0 d (x) = ?х = МС ?f (x) = BC f '(X) = tgLBMC

Але df (x) = f (x) ?х = MC * tgLBMC = BC

 Диференціал функції зображується BC ? AC, який зображає приріст функції, т. Е. Якщо ?f (x) - приріст ординати кривої y = f (x), то df (x) - це прирощення ординати дотичної до кривої в точці A. Це і є геометричний сенс диференціала.

Т. к.dy = y'dx, то множачи функції таблиці похідних на dx ми отримаємо таблиці диференціалів.

Т.2. Якщо функції f і g диференційовані в точці x0, То в цій точці диференційовані функції f ± g, f · g, f / g при g (x0) ? 0, c · f при c -const, причому виконуються рівності:

1.d (f ± g) = df ± dg;

2. d (f · g) = gdf + fdg;

3. d (f / g) = (gdf-fdg) / g2;

4. d (cf) = cdf, при c-const.

Док-во (3): f диференційована в точці х0 => Існує f '(x0)

g диференційована в точці х0 => Існує g '(x0), Т. О. існує (f / g) '(x0), G (x0) ? 0 (f / g) '= (f'g-fg') / g2

тепер xdx

(Інші аналогічно).

 



 Визначення похідної функції в точці. Геометричний зміст похідної. Правила диференціювання. |  Теорема Лагранжа і її застосування до дослідження функції.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати