Головна

 Www.msta.ru |  Визначення та позначення. |  Операції над множинами. |  Потужність безлічі. |  Пряме твір множин. |  Тест 1. |  Бінарні відносини. |  Визначення та основні властивості. |  Диз'юнктивна і Кон'юнктивна нормальні форми |  Спрощення д.н.ф. |

Алгебраїчні структури і морфізм.

  1.  III. Зміна обсягу і структури продукції
  2.  IV. ОСОБЛИВОСТІ СТРУКТУРИ стимулом для МЕНЕДЖЕРІВ ДЕРЖАВНИХ КОРПОРАЦІЙ
  3.  What is "preserving the meaning structure of the source text (ST) (збереження смислової структури тексту оригіналу) in the target text (TT)"?
  4.  XXIX. МИ І ЦЕЙ СВІТ - ПОЛЬОВІ СТРУКТУРИ.
  5.  Алгебраїчні моделі та моделі з одним рівнянням
  6.  Алгоритм 4.1. Опис ієрархічної структури робіт проекту

n-арної операцією на безлічі А називається відображення  , Яке кожному впорядкованому набору довжини n з елементів безлічі А зіставляє деякий цілком певний елемент цього ж множини.

безліч А разом з набором заданих на ньому операцій  , де  називається структурою алгебри  або просто алгеброю. При цьому множин А називається носієм структури, а набір операцій  - Сигнатурою. Найчастіше зустрічаються операції, арность якої дорівнює 2, Бінарні. Такі, зокрема, звичайні операції додавання і множення на числових множинах. Відомими алгебраїчними структурами є групи, кільця, поля.

підмножина називається системою утворюючих, якщо будь-який елемент А може бути отриманий з А за допомогою операцій сигнатури. Так, в алгебрі  натуральних чисел з операцією додавання (полугруппе) один елемент 1 - Є утворюючим, а в алгебрі  натуральних чисел з операцією множення (моноїд) системою утворюючих є безліч простих чисел і одиниця.

Нехай є дві алгебри и  , Причому арность відповідних операцій однакова.

Визначення. відображення  називається гомоморфізм з A в B , Якщо воно зберігає всі операції сигнатури, тобто  . якщо f - Біекція, то гомоморфізм називається ізоморфізмом.

З алгебри точки зору ізоморфні алгебраїчні структури невиразні. Прикладом ізоморфізму алгебраїчних структур є алгебра  безлічі дійсних чисел з операцією додавання (група) і алгебра  позитивних дійсних чисел з операцією множення (група). биективное відображенням  встановлює ізоморфізм є функція  , так як  . На даному ізоморфізмі засновано, зокрема, виконання множення за допомогою логарифмічної лінійки, так як зворотне відображення  задається логарифмічною функцією и .

Як приклад гомоморфизма алгебраїчних структур, яка не є ізоморфізмом, можна привести алгебру квадратних матриць заданого порядку n над полем дійсних чисел з операцією множення матриць (моноїд) і алгебру дійсних чисел з операцією множення (моноїд). Відображенням, що задає гомоморфізм з безлічі матриць в безліч чисел, є операція обчислення визначника квадратної матриці: .

Гомоморфізм називається:

- Мономорфізму, якщо f - Ін'єкція;

- Епіморфізм, якщо f - Сюр'єкція;

- Ендоморфізм, якщо f - Відображає носій

структури на себе;

- Автоморфізмом, якщо f - Биективное ендоморфізм.

Прикладом автоморфізм групи є операція сполучення за допомогою фіксованого елемента  , так як .

Нехай задана деяка алгебраїчна структура  ставлення еквівалентності R на безлічі A називається відношенням конгруентності, якщо воно узгоджене з усіма операціями сигнатури в наступному сенсі:

з

слід R .

Іншими словами, клас еквівалентності, в який потрапляє результат будь-якої операції сигнатури, повністю визначається класами, з яких беруться аргументи операції.

Ставлення конгруентності дозволяє визначити так звану фактор-структуру, носієм якої є безліч класів еквівалентності. Наведемо приклади.

нехай  - Алгебраїчна структура цілих чисел з операціями додавання і множення. Ставлення порівняння по модулю n є відношенням конгруентності і дозволяє визначити фактор-структуру  , Елементами якої є класи відрахувань  . Вона називається кільцем класів лишків за модулем n .

Ставлення еквівалентності елементів групи G за нормальною підгрупі H є відношенням конгруентності і дозволяє визначити на безлічі суміжних класів фактор-групу G / H .

Контрольні питання

1.Дайте визначення бінарного відношення.

2.Яке бінарне відношення називають транзитивним?

3.Наведіть приклад бінарного відносини.

4.Яке бінарне відношення називають ставленням еквівалентності?

5.Що називають функцією?



 Функції. |  тест II
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати