Головна

 I-го порядку. |  II. Диференціальні рівняння вищих порядків. |  III. Системи звичайних диференціальних рівнянь. |  I. Диференціальні рівняння 1-го порядку. |  Завдання №1 для контрольної роботи *. |  Диференціальне рівняння виду (що не містить шуканої функції у). |  Дано диференціальні рівняння 2-го порядку, що допускають зниження порядку. Знайти приватне рішення, яке задовольняє зазначеним початковим умовам. |  приклади |  Завдання №5 для контрольної роботи. |  розділ 6 |

III. Система лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку з постійними коефіцієнтами.

  1.  A) збігається решеточная система б) Взаємно протилежна решеточная
  2.  I-го порядку.
  3.  I. Диференціальні рівняння 1-го порядку.
  4.  I. Система граматичних часів в пасивному стані
  5.  II. Богословська система
  6.  II. Глобальна система.
  7.  II. Поселення в Іспанії. Взаємовідносини вестготів і римлян. Королівська влада. Система управління. Церковна політика.

Розглянемо метод виключення. Дана система лінійних диференціальних рівнянь:

 . (1)

Виключимо у з даних рівнянь. Диференціюючи по t перше рівняння системи (1), при цьому отримаємо  . Підставивши в цю рівність у/ з другого рівняння системи, матимемо

 . (2)

Переписавши перше рівняння системи у вигляді

 (3)

і підставивши цей вираз в (2), отримаємо рівняння

,

яке є ЛОДР другого порядку з постійними коефіцієнтами. Вирішуючи його, знайдемо функцію  . Другу функцію у системи (1) можна визначити за формулою (3).

Схема рішення:

       
 
 
   


Приклад 1. Знайти спільне рішення системи (методом виключення)

.

Рішення. Диференціюючи перше рівняння системи, матимемо

Підставивши сюди х/ з другого рівняння системи, отримаємо

.

Підставами х з першого рівняння, тоді

.

Наведемо в останній рівності подібні члени:

.

Отримаємо ЛОДР другого порядку. Його характеристичне рівняння  має два різних дійсних кореня:  . Отже, рішенням цього диференціального рівняння буде:

 , тоді .

Знаходимо другу функцію. З першого рівняння маємо:

.

відповідь: .

Приклад. вирішити систему

.

Рішення. З першого рівняння системи знаходимо

 . тоді  . ( * )

Підставами цей вислів на друге рівняння системи:

 . ( * * )

Отримали лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його спільне рішення:  , причому  , Що легко перевіряється підстановкою  в ( * * ). Знайдемо коріння характеристичного рівняння:  . отже,  . Таким чином:

.

Диференціюючи це рівність і підставляючи похідну  в ( * * ), Отримаємо

.

Загальне рішення системи:

.

 



 Завдання №3 для контрольної роботи *. |  IV. Скласти диференціальне рівняння і знайти рішення.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати