На головну

 I-го порядку. |  II. Диференціальні рівняння вищих порядків. |  Диференціальне рівняння виду (що не містить шуканої функції у). |  Дано диференціальні рівняння 2-го порядку, що допускають зниження порядку. Знайти приватне рішення, яке задовольняє зазначеним початковим умовам. |  Завдання №3 для контрольної роботи *. |  III. Система лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку з постійними коефіцієнтами. |  IV. Скласти диференціальне рівняння і знайти рішення. |  приклади |  Завдання №5 для контрольної роботи. |  розділ 6 |

I. Диференціальні рівняння 1-го порядку.

  1.  I Диференціальні рівняння.
  2.  I-го порядку.
  3.  I. Розрахунки за рівняннями реакцій
  4.  II. Диференціальні рівняння вищих порядків.
  5.  S: Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд
  6.  А. Ланцюг першого порядку.

Розглянемо 2 приклади вирішення диференціального рівняння 1-го порядку:

а) однорідного; б) лінійного.


 а) Однорідне диференціальне рівняння 1-го порядку .

Приклад 1. Проінтегрувати диференціальне рівняння

.

Рішення. Дане рівняння - однорідне, тому що висловлювання, які стоять перед dx і dy є однорідними функціями одного і того ж вимірювання, а саме 2-го виміру. дійсно,

;

.

Для інтегрування однорідного рівняння зручніше вирішити його відносно похідної :

.

вважаємо ,  . Підставами ці вирази в рівняння, тоді отримаємо

 або  - Диференціальне рівняння із перемінними. Інтегруємо його:

.

Замінюємо змінну U через її значення :

 або  - Загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

б) Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку

( * )

може бути вирішено, наприклад, методом Бернуллі, згідно з яким рішення рівняння ( * ) Шукається у вигляді твору 2-х функцій, тобто

.

Схема рішення:

     
   
     
 
   

Приклад 2. Вирішити рівняння

.

Рішення. Це рівняння - лінійне, 1-го порядку, тому що воно приводиться до вигляду

(У і у/ містяться в 1-х ступенях, що не перемножити один з одним). Шукаємо рішення цього рівняння. покладемо  , тоді

.

Підставами у і у/ в перетворене рівняння і згрупуємо його члени:

,  (3)

Виберемо функцію V так, щоб вираз, що стоїть в дужках, звернулося в 0: .

Отримали рівняння із перемінними

, ,

, , .

Для простоти покладемо С = 1. Тоді V = x. Підставами V = x (V/= 1) в рівняння (3) і послідовно знаходимо

, , ,

, .

Тоді рішення диференціального рівняння буде

.

Зауваження 2. Деякі рівняння стають лінійними, якщо поміняти шукану функцію і незалежне змінне. Наприклад, рівняння  запишемо у вигляді

, .

Отже, це рівняння лінійне щодо функції .

 



 III. Системи звичайних диференціальних рівнянь. |  Завдання №1 для контрольної роботи *.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати