На головну

ДОДАТКИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ

  1.  II. Відокремлені додатки
  2.  S: Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд
  3.  Адміністративні податкові правопорушення проти дотримання строку подання податкових деклараці? (розрахунків), обчислення податків та їх сплати
  4.  Базовий підхід до пошуку спільного рішення диференціального рівняння з допомогою рядів
  5.  базовий підхід до вирішення завдання Коші для систем диференціальних рівнянь за допомогою операційного обчислення
  6.  Види податкових ставок, податковий період, порядок обчислення і сплати акцизів. Терміни подачі податкових декларацій.
  7.  Види, значення та порядок обчислення цивільно-правових строків.

Розділ 3.

1. Умови зростання та спадання функцій.

2. Точки екстремуму. Необхідні умови екстремуму.

3. Відшукання найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

4. Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точки перегину.

5. Асимптоти кривих.

6. Загальна схема побудови графіків функцій.
література  , Гл. V, §2-6; §9-12, упр. 1,2,8,11,14,19, 32-34,62,63,72,75,76,83,84.

7. Функції декількох змінних. Основні поняття (область визначення, межа функції, безперервність)

8. Приватні похідні, Повний диференціал. Обчислення наближеного значення функції за допомогою диференціала. Дотична площину і нормаль до поверхні.

9. Екстремуми функції декількох змінних.
література  , Гл. VIII, §1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,16,17,19.

10. Рівняння кривої в просторі.

11. Рівняння дотичної до кривої. Рівняння нормальної площині.

12. Кривизна кривої.

Література, гл. IX, §1-4, упр. 1,2,4,5,13

Питання для самоперевірки.

1. Дайте визначення зростаючою (спадною) функції на проміжку.

2. Що називають інтервалами монотонності функції?

3. Які кути утворюють дотичні до графіка зростаючої (спадної) функції з позитивним напрямком осі абсцис?

4. Наведіть приклади зростаючих і спадних функцій і вкажіть їх інтервали зростання і спадання.

5. Сформулюйте правило знаходження інтервалів монотонності функції.

6. Покажіть, що функції и  зростають в будь-якому проміжку.

7. Дайте визначення максимуму (мінімуму) функції.

8. Які точки називають точками екстремуму функції?

9. Сформулюйте необхідна умова екстремуму функції. Чи є воно достатньою умовою?

10. Які точки називаються критичними точками функції?

11. Сформулюйте правило (послідовність ваших дій) знаходження екстремуму функції.

12. Дайте визначення найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку.

13. Чи завжди існують у функції на відрізку найбільше і найменше значення?

14. Сформулюйте правило знаходження найбільшого і найменшого значення функції, що диференціюється на відрізку.

15. Якщо функція неперервна на проміжку, який не є відрізком, чи справді вона мати на цьому проміжку найбільше і найменше значення?

16. Яку криву називають опуклою (увігнутою) на інтервалі?

17. Сформулюйте достатню ознаку нерівності (угнутості) кривої на інтервалі.

18. Яку точку називають точкою перегину? Що відбувається з другою похідною в точці перегину?

19. Сформулюйте достатню ознаку точки перегину.

20. Сформулюйте визначення асимптоти кривої.

21. У точках розриву якого роду шукають вертикальні асимптоти?

22. Як знаходяться похилі і горизонтальні асимптоти?

23. Викладіть схему загального дослідження функції та побудови її графіка.

24. Коли функція  називається диференційованою в цій точці  . Що називається повним диференціалом цієї функції в даній точці? У чому полягає правило застосування повного диференціала для обчислення наближеного значення функції, близького до відомого?

25. Виведіть рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці М. З'ясуйте геометричний сенс повного диференціала функції двох змінних.

26. Дайте визначення приватних похідних вищих порядків. Сформулюйте теорему про рівність змішаних приватних похідних функції двох змінних.

27. Що називається похідною функції  в даній точці Мо у напрямку вектора  ? Виведіть формулу її обчислення.

28. Що називається градієнтом скалярного поля  в даній точці? Як виражається похідна по напрямку через градієнт і одиничний вектор?

29. Дайте визначення локального максимуму (мінімуму) функції двох змінних. Виведіть необхідна умова і сформулюйте достатня умова екстремуму функції двох змінних.

30. Сформулюйте правило знаходження екстремумів функції двох змінних.

31. Виведіть правило знаходження найбільшого і найменшого значення функції двох змінних у замкненій області.

32. Що називається умовним екстремумів функції  ? Як знайти умовний екстремум функції двох змінних, якщо ці змінні пов'язані однією умовою?

33. Напишіть рівняння дотичній і нормальної площини до кривої.

34. Як обчислити кривизну кривої в даній точці?

Приклад 1. Провести повне дослідження і побудувати графік функції

1) Знайдемо область визначення. Функція f (x) є окремим випадком «склеєної» функції, тобто функції виду

.

Іноді безлічі D1 і D2 повністю не вказуються. Треба враховувати природні області визначення функцій f1(X) і f2(X). У нашому прикладі f1(X) = 1, D1=  , f2(X) =  і D2 : .

Отже, область визначення функції f (x):  . Причому значення х = 0 - точка «склеювання».

Надалі кожну з функцій f1(X) і f2(X) досліджуємо відповідно в областях D1 і D2, І поведінка кожної з функцій в околиці точки «склеювання».

Так як f1(X) = 1 - const, графік функції на області D1 можна побудувати без додаткових досліджень.

Дослідження функції f2(X).

а) Коріння f2(X) = 0

х = 1, х = -1;

б) Проміжки знакопостоянства f2(X):

в) Поведінка f2(X) в граничних точках області визначення:

пряма  є вертикальною асимптотой.

Похила асимптота:

пряма  є похилій асимптотой на .

г) Для відшукання інтервалів зростання і спадання функції знайдемо першу похідну

Критичних точок немає, так як  . інтервали знакопостоянства :

 
 


 + +

0

 зростає на проміжках и .

д) Для відшукання областей опуклості і угнутості знайдемо другу похідну

Критичних точок немає. інтервали знакопостоянства :

 
 


 + -

0

Графік функції  увігнутий на проміжку .

Графік є опуклим на проміжку .

е) Досліджуємо тепер функцію f (x) в околі точки «склеювання» х = 0

Функція f (x) неперервна в точці х = 0.

Побудуємо графік функції:

 
 


Приклад 2. Знайти найбільше і найменше значення функції

в замкнутій області, заданої системою нерівностей

При знаходженні найбільшого і найменшого значення функції кількох змінних у замкненій області слід пам'ятати, що точки, в яких досягається найбільше і найменше значення, можуть перебувати: 1) всередині області; 2) на кордонах області; 3) в точках перетину кордонів області.

1. Знайдемо точки, підозрювані на екстремум.

Вирішивши систему, одержимо дві точки  . Крапка  належить області. Крапка  - Лежить на кордоні (точка А). Обидві точки належать області. Значення функції в цих точках.

2. Досліджуємо кордону області.

а) (АВ) має рівняння х = 0. На цьому кордоні функція набуде вигляду  (Залежить від однієї змінної). Знайдемо точки, підозрювані на екстремум, це точки, в яких  або  не існує  при  . отримали точку  . значення  - Вже вирахували.
 б) Ділянка (ВС) має рівняння у = 0.


 z залежить від однієї змінної х, її найбільше і найменше значення знаходяться серед значень в критичних точках.

 при

 не належить ділянці (ВС). Знайдемо значення функції тільки в тих точках кордону, які належать ділянці (ВС)


 в) Ділянка кордону (АС) має рівняння  . На цій ділянці

.
 вирішуючи рівняння  , Тобто  , Знаходимо критичні точки  . точки  належать ділянці кордону (АС).
.

3. Знаходимо значення функції в точках перетину кордонів:

4. Найбільше і найменше значення досягається в одній із знайдених в процесі рішення точок:  . Порівнюючи значення у всіх цих точках, помічаємо, що найбільше з них рано 12, а найменше -1.
 відповідь: .

 



 Завдання для контрольної роботи. |  контрольні завдання
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати