Головна |
числова послідовністьЧислова последовательность- функція виду а= f(x), x I N, де N - Безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається а = f(n) Або а1, а2, ..., аn, ... Значення а1, а2, а3... Називають відповідно першим, другим, третім, ... членами послідовності. наприклад: an = n2 a1 = 12 = 1; a2 = 22 = 4; a3 = 32 = 9; ...an = n2 Способи завдання послідовностей. Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливі три: аналітичний, описовий та рекурентний. 1. Послідовність задана аналітично, якщо задана формула її n-го члена: an = f(n). Приклад 3.1. an = 2n - 1 - послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ... 2. Опісательнийспособ завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність. Приклад 3.2. «Усі члени послідовності рівні 1». Це означає, мова йде про стаціонарної послідовності 1, 1, 1, ..., 1, ... Приклад 3.3. «Послідовність складається з усіх простих чисел в порядку зростання». Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, ... При такому способі завдання послідовності в даному прикладі важко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000-й елемент послідовності. 3. рекурентності спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі її попередні члени. У таких випадках вказують формулу, що дозволяє висловити n-й член послідовності через попередні. Приклад 3.4. a1 = 3; an = an-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4, ... тут a1 = 3; a2 = 3 + 4 = 7; a3 = 7 + 4 = 11; ... Можна бачити, що отриману в цьому прикладі послідовність можна задати аналітично: an = 4n - 1. Властивості числових послідовностей. Числова послідовність - окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються і для послідовностей. Визначення. послідовність {an} Називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більше попереднього: a1 < a2 < a3 <... < an < an+1 <... Визначення. послідовність {an} Називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менше попереднього: a1 a2 a3 ...> an an+1 ... Зростаючі і спадні послідовності об'єднують загальним терміном - монотонні послідовності. Визначення. Послідовність називається періодичної, якщо існує таке натуральне число T, Що починаючи з деякого n, Виконується рівність an = an + T . число T називається довжиною періоду. Приклад 3.6. послідовність періодична з довжиною періоду T = 2. Арифметична прогресія. Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числа d, Називають арифметичною прогресією, а число d - Різницею арифметичної прогресії. Таким чином, арифметична прогресія - це числова послідовність {an}, Задана рекуррентно співвідношеннями a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, ...) (a и d - Задані числа). Приклад 3.7. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... - зростаюча арифметична прогресія, у якої a1 = 1, d = 2. Приклад 3.8. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - спадна арифметична прогресія, у якої a1 = 20, d = -3. Неважко знайти явне (формульне) вираз an через n. Величина чергового елемента зростає на d в порівнянні з попереднім, таким чином, величина n елемента зросте навелічіну (n - 1)d в порівнянні з першим членом арифметичної прогресії, т. е. an = a1 + d(n - 1). це формула n-го члена арифметичної прогресії. Геометрична прогресія. Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те ж число q, Називають геометричною прогресією, а число q - Знаменником геометричної прогресії. Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність {bn}, Задана рекуррентно співвідношеннями b1 = b, bn = bn-1 q (n = 2, 3, 4 ...). (b и q - задані числа, b ? 0, q ? 0). Приклад 3.9. 2, 6, 18, 54, ... - зростаюча геометрична прогресія b = 2, q = 3. Приклад 3.10. 2, -2, 2, -2, ... - геометрична прогресія b = 2, q = -1. Приклад 3.11. 8, 8, 8, 8, ... - геометрична прогресія b = 8, q = 1. Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b1 0, q > 1, і спадною, якщо b1 0, 0 < q <1. Функції, задані за допомогою суперпозиції раціональних функцій, статечних з раціональними показниками та чотирьох арифметичних дій, називаються алгебраїчними. | Геометричній прогресії названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попередніх і наступних членів. Використовуючи метод розтину площинами. | поняття множини | Пусте і універсальне безлічі | Порожня множина і саме безліч A називаються невласними подмножествами безлічі A. | поняття функції | Х - область визначення (існування); | Поняття функції кількох змінних. | Областю існування функції двох змінних (х і y), взагалі кажучи, являє собою деякий безліч точок площині Oxy, т. Е. | складні функції | Елементарні функції і їх класифікація | |