На головну

 Ця гіпербола складається з двох суцільних ліній (- зв'язкових компонент), |  Різні види рівняння прямої. |  Якщо жоден з коефіцієнтів рівняння (1) не дорівнює нулю, то його можна перетворити до вигляду |  Розглянемо далі рішення деяких типових задач. |  Остаточно рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, записуємо у вигляді |  рівняння виду |  Гіпербола. |  Дві гіперболи, задані рівняннями |  У цій системі координат парабола буде визначатися рівнянням |  Площина в просторі. |

Розглянемо далі окремі випадки загального рівняння площини.

  1.  I Диференціальні рівняння.
  2.  I. Диференціальні рівняння 1-го порядку.
  3.  I. Розрахунки за рівняннями реакцій
  4.  II. Диференціальні рівняння вищих порядків.
  5.  II. Випадки 3), 4).
  6.  III. Випадки 5), 6).
  7.  IV. особливі випадки

якщо D =0, то рівняння Аx + By + Cz =0 визначає площину, що проходить через початок координат. Інші окремі випадки визначаються розташуванням нормального вектора  = (А, B, C). Так, наприклад, якщо А =0, то рівняння By + Cz + D =0 визначає площину, паралельну осі Ox (І проходить через вісь Ox, якщо D =0); якщо А = B =0, то рівняння Cz + D =0 визначає площину, паралельну площині Oxy (зокрема, z = 0 - рівняння самої площині Oxy).

двогранний кут між двома площинами, Заданими своїми загальними рівняннями

А1x + B1y + C1z + D1 = 0,

А2x + B2y + C2z + D2 = 0, (22)

дорівнює куту j між їх нормальними векторами  = (А1, B1, C1) і  = = (А2, B2, C2) І визначається за формулою

cosj = = ; (23)

кут j лежить в межах від 0 до p; інший двогранний кут, утворений двома пересічними площинами, дорівнює p -j.

Приклад 17. Знайти кут між площинами, заданими рівняннями 3x-y-2z+250=0 і x-2y + z-111=0.

Рішення. Знаходимо косинус кута між нормальними векторами  = (3, -1, -2) і  = (1, -2,1):

cos j = = ;

звідси j = arccos . Інший двогранний кут дорівнює 180 ° -71 ° = 109 °. ¦

Дві дані площини (22) перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори  = (А1, B1, C1) і  = (А2, B2, C2) Перпендикулярні між собою, звідки скалярний твір ( ,  ) = 0 або  = 0. Наприклад, площини 3x-y+2z-31=0 і 5x +3y-6z+1=0 перпендикулярні, так як 3 ? 5 + (- 1) ? 3 + 2 ? (-6) = 0. Дві дані площини паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори и  колінеарні, тобто при виконанні умови .

Приклад 18. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0(1, -1,0) і паралельній площині 2x+3y-4z-1=0.

Рішення. Так як у паралельних площин один і той же нормальний вектор  = (2,3, -4), то шукане рівняння має вигляд 2 (x-1) +3 (y +1) -4 (z-0) = 0 або 2x+3y-4z+1=0. ¦

3.3 [Крім ФЕУ] . Пряма лінія в просторі.

Лінія в просторі визначається спільним завданням двох рівнянь F(x, y, z) = 0, F(x, y, z) = 0 як перетин двох поверхонь, що задаються цими рівняннями.

так, пряма в просторі може бути задана як лінія перетину двох площин, тобто як безліч точок, що задовольняють системі

Якщо пряма в просторі паралельна вектору  = (а1, а2, а3) (Званому напрямних вектором) І проходить через точку M0(x0, y0, z0), То її рівняння можуть бути отримані з умови коллінеарності векторів  = (x-x0, Y-y0, Z-z0) (Де M(x, y, z) - Довільна точка прямої) і  = (а1, а2, а3):

 . (24)

Рівняння (24) називаються канонічними рівняннями прямої в просторі.

Приклад 19. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки M0(1, -1,3) і M1(0,3,5).

Рішення. Скористаємося рівняннями (24), взявши в якості направляючого вектора  = (0-1,3 - (- 1), 5-3) або  = (-1,4,2):

.



 Рівняння площини, записане у вигляді |  Поверхні другого порядку.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати