На головну

методом Гауса

  1.  А) за формулами Крамера, б) методом зворотної матриці, в) методом Гаусса, г) за допомогою пакета прикладних математичних програм MathCAD (Excel).
  2.  Алгоритм використання функції Гаусса в наближених обчисленнях
  3.  Алгоритм визначення ставки змінних витрат методом найменших квадратів
  4.  Алгоритм розв'язки за методом Гаусса-Зейделя
  5.  Аналіз грошових коштів організації прямим методом
  6.  Апроксимація кривих розгону методом площ.
  7.  Квиток №10. Рішення рівнянь геометричного аналізу для одноподвіжних і многоподвіжних механізмів методом Ньютона.

В електроенергетичних завданнях найбільшого поширення набув метод послідовних виключень Гауса. Він відноситься до класу точних методів рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Процес рішення по методу Гаусса складається з двох етапів: прямий хід методу і зворотний хід. На першому етапі (прямий хід) система приводиться до трикутного вигляду, на другому етапі (зворотний хід) йде послідовне визначення невідомих з цієї трикутної системи.

Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь  - Го порядку.

 (2)

Будемо вважати, що коефіцієнт  , Який називають провідним елементом першого кроку, відмінний від нуля (в разі, якщо  , Потрібно поміняти місцями перше рівняння з  - Критим рівнянням, в якому  ). Розділимо тепер почленно перше рівняння системи на коефіцієнт  . введемо множники

.

Додамо тепер до кожного  - Тому рівняння системи перше рівняння, помножене на  . Виконавши цю операцію, ми виключимо невідоме  з усіх рівнянь, починаючи з другого.

Перетворена система набуде вигляду:

 (3)

тут індекс  означає нові значення коефіцієнтів і правих частин, які виходять після виконання першого кроку прямого ходу методу Гаусса.

Переходячи до виконання другого кроку прямого ходу методу Гаусса припустимо, що елемент  , Який називають провідним елементом другого кроку, не дорівнює нулю. Розділимо друге рівняння на коефіцієнт  . введемо множники

Додамо до  -тому рівняння системи (3),  друге рівняння, помножене на  , В результаті виключимо невідоме  з усіх рівнянь, крім перших двох.

Провівши далі аналогічні перетворення, після  - Го кроку прийдемо до трикутної системі виду:

 (4)

Другий етап - зворотний хід методу Гаусса реалізується в такий спосіб. З останнього рівняння системи (4) визначаємо  . За знайденим значенням  з  - Го рівняння визначаємо невідоме  . Потім за значеннями и  з  - Го рівняння знаходимо  і т.д. Послідовне обчислення невідомих триває до тих пір, поки з першого рівняння системи (4) не визначимо  . На цьому процес вирішення закінчується.

Відзначимо деякі специфічні особливості викладеного методу Гаусса, характерні для ЕЕС. Основна з них полягає в погрішності обчислень в результаті округлення чисел через кінцевої довжини розрядної сітки ПК. Похибки залежать в основному від величини провідного елементу. На кроці виключення, прямого ходу методу Гаусса похибки зростають, якщо ведучий елемент малий у порівнянні з іншими коефіцієнтами відповідного стовпчика матриці коефіцієнтів  . Тому з метою зниження похибок обчислень виробляють спеціальний вибір ведучого елемента - перестановкою рівнянь домагаються того, щоб на даному етапі виключення в якості ведучого елемента виявився найбільший коефіцієнт рівняння.

приклад: Для заданої системи лінійних алгебраїчних рівнянь знайти рішення методом Гаусса.

На початку досліджуємо задану систему на спільність. Для цього обчислимо ранг матриці коефіцієнтів  і ранг розширеної матриці коефіцієнтів. Для цього скористаємося системою MATLAB.

>> A = [2, -1, 1, -1, 2, -1, 0, -3; 3 -1, 1, 1; 1, 2, -4, 5]; rank (A)

ans =

4

>> A1 = [2, -1, 1, -1, 1; 2, - 1, 0, - 3,5; 3, -1, 1, 1, 3; 1, 2, -4, 5, -6]; rank (A1)

ans =

4

Отримали, що ранг матриці коефіцієнтів дорівнює рангу розширеної матриці коефіцієнтів, це означає, що система сумісна і має єдине рішення (ранги матриць рівні порядку системи).

Проведемо перетворення за прямим ходу методу Гаусса

На головній діагоналі, перетвореної матриці коефіцієнтів, стоять 1. Тепер проведемо перетворення відповідно до зворотним ходом методу Гауса.

З останнього рівняння системи визначаємо  . З передостаннього рівняння знаходимо  . Провівши аналогічні обчислення, отримуємо

В результаті отримуємо вектор-стовпець шуканих невідомих



 Методи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь |  Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Жордана-Гаусса
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати