Головна |
Умовний екстремум, метод множників Лагранжа для функції двох змінних.У цьому методі не потрібно висловлювати явно y через х, однак використовується та обставина, що в разі можливої ??заміни y на g (x) справа зводиться до безумовного екстремуму функції однієї змінної. Отже, знаходимо повну прозводное від z по х, вважаючи y функцією х: Ми будемо припускати, що в точці екстремуму ¶j?¶у?0. Тоді існує число l, при якому ¶f?¶y + l (¶j?¶у) = 0 в цій точці. З рівності (3) випливає, що в цій точці ¶f?¶х + l (¶j?¶х) = 0 Ми приходимо до необхідних умов екстремуму (4): Складається допоміжна функція F (x, y, l) = f (x, y) + lj (x, y) (5), звана функцією Лагранжа. Для неї виписуються як для функції трьох змінних необхідні умови абсолютного екстремуму: При цьому виходить в точності система (4). Коефіцієнт l називають множником Лагранжа. Метод Лагранжа допускає узагальнення на функції більшого числа змінних. Так, в задачі на умовний екстремум функції u = f (x, y, z) з обмеженнями j1(X, y, z) = 0 і j2(X, y, z) = 0 функція Лагранжа має вигляд: F (x, y, z, l1, l2) = F (x, y, z) + l1j1(X, y, z) + l2j2(X, y, z). Нулю прирівнюються всі проізвоние по x, y, z, l1, l2. Межа і неперервність функції двох змінних. | Достатні умови абсолютного екстермума функції двох змінних. Правило Лопіталя. | Необхідна умова локального екстремуму функції однієї змінної. | Достатні умови локального екстремуму. | Знаходження асимптот графіків функції. | Первісна. Теорема про двох первісних однієї функції. | Теорема про середнє значення для певного інтеграла. | Теорема про довільній від інтеграла із змінною верхньою межею. | Формула Ньютона-Лейбніца. | Заміна змінної в певному інтегралі. | Інтеграли з нескінченними межами. | |