Головна

Умовний екстремум, метод множників Лагранжа для функції двох змінних.

  1.  I метод
  2.  I. дисфункції бюрократії як організації
  3.  I. ЗАГАЛЬНІ Методичні вказівки
  4.  I. Методичний інструментарій оцінки рівня ліквідності інвестицій забезпечує здійснення такої оцінки в абсолютних і відносних показниках.
  5.  I. Знайти межі функції.
  6.  I. Організаційно-методичний розділ
  7.  I. Статистичні методи побудови динамічних об'єктів технологічних процесів.

У цьому методі не потрібно висловлювати явно y через х, однак використовується та обставина, що в разі можливої ??заміни y на g (x) справа зводиться до безумовного екстремуму функції однієї змінної.

Отже, знаходимо повну прозводное від z по х, вважаючи y функцією х:


 У точках екстремуму dz: dx = 0, отже (1),


 Застосуємо знову правило диференціювання складної функції до рівняння ? (x, y) = 0. Будемо припускати при цьому, що у замінений тієї самої функцією х, яка неявно задається рівнянням. Така заміна перетворює рівняння ? (x, y) = 0 в тотожність. Отримаємо (2):


 Помножимо (2) на невизначений множник ? і складемо з (1):

 
 

 Ми будемо припускати, що в точці екстремуму ¶j?¶у?0. Тоді існує число l, при якому ¶f?¶y + l (¶j?¶у) = 0 в цій точці. З рівності (3) випливає, що в цій точці ¶f?¶х + l (¶j?¶х) = 0

Ми приходимо до необхідних умов екстремуму (4):


 У цій системі з трьох ураненій три невідомі величини x, y і l. Із системи знаходяться одна або кілька точок (х, у). Що стосується l, то цей множник відіграє допоміжну роль і далі не потрібно. Знайдені точки (х, у) перевіряють на наявність в них екстремуму і його вид (максимум або мінімум). У разі необхідності обчислюються значення f (x, y) на кінцях проміжку, що обмежує зміна х при описі кривої АВ. Часто із суті завдання легко вирішується питання, з яким із значень - найбільшим або найменшим - ми маємо справу. Проведені міркування обґрунтовують метод Лагранжа, який полягає в наступному.

Складається допоміжна функція

F (x, y, l) = f (x, y) + lj (x, y) (5), звана функцією Лагранжа. Для неї виписуються як для функції трьох змінних необхідні умови абсолютного екстремуму:

 
 

При цьому виходить в точності система (4).

Коефіцієнт l називають множником Лагранжа.

Метод Лагранжа допускає узагальнення на функції більшого числа змінних. Так, в задачі на умовний екстремум функції u = f (x, y, z) з обмеженнями j1(X, y, z) = 0 і j2(X, y, z) = 0 функція Лагранжа має вигляд:

F (x, y, z, l1, l2) = F (x, y, z) + l1j1(X, y, z) + l2j2(X, y, z).

Нулю прирівнюються всі проізвоние по x, y, z, l1, l2.

 Межа і неперервність функції двох змінних. |  Достатні умови абсолютного екстермума функції двох змінних.


 Правило Лопіталя. |  Необхідна умова локального екстремуму функції однієї змінної. |  Достатні умови локального екстремуму. |  Знаходження асимптот графіків функції. |  Первісна. Теорема про двох первісних однієї функції. |  Теорема про середнє значення для певного інтеграла. |  Теорема про довільній від інтеграла із змінною верхньою межею. |  Формула Ньютона-Лейбніца. |  Заміна змінної в певному інтегралі. |  Інтеграли з нескінченними межами. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати