Головна

 Тема 3. Функції декількох змінних |  Тема 4. Звичайні диференціальні рівняння |  Основні правила інтегрування |  Приклад 1.6. |  Класи функцій, що інтегруються частинами |  Приклад 1.12. |  Приклад 1.23. |  Рішення. |  Рішення. |  Рішення. |

Зауваження.

  1.  Заключні зауваження.
  2.  Зауваження.
  3.  Зауваження.
  4.  Зауваження.
  5.  Зауваження.
  6.  Методичні зауваження.

1. Якщо в (6.4)  або  , То приватне рішення y *  також шукається у вигляді (6.5), (6.6), де  (або  ).

2. Якщо рівняння (6.1) має вигляд  , То приватне рішення  такого рівняння можна шукати у вигляді  , де  - Приватне рішення рівняння  , а  - Приватне рішення рівняння .

Приклад 6.2. Знайти спільне рішення рівняння

.

Рішення. Відповідне однорідне рівняння має вигляд

,

характеристичне рівняння  має коріння  . Загальне рішення однорідного рівняння:

.

Права частина даного рівняння є сума

.

Тому знаходимо частинні розв'язки для кожного з трьох рівнянь:

.

Приватне рішення першого рівняння шукаємо у вигляді  , так як  є одноразовим коренем характеристичного рівняння і  - Многочлен нульової ступеня. оскільки

,

то, підставляючи ці вирази в перше рівняння, маємо

 або и .

Приватне рішення другого рівняння будемо шукати у вигляді  , Так як в правій частині другого рівняння  не є коренем характеристичного рівняння і  - Многочлен нульової ступеня.

Визначаючи, як і вище, постійну A, отримаємо  . Приватне рішення третього рівняння будемо шукати у вигляді  , Так як в правій частині третього рівняння  є одноразовим коренем характеристичного рівняння і  - Многочлен першого ступеня. оскільки  , То, підставляючи ці вирази в третє рівняння, маємо  . Прирівнюючи коефіцієнти при x і вільні члени в лівій і правій частинах рівності, отримуємо систему -  , Звідки знаходимо .

отже, .

Підсумовуючи приватні рішення, отримуємо приватне рішення y *  вихідного рівняння  . Тоді загальне рішення даного неоднорідного рівняння буде таким:

Приклад 6.3. Знайти приватне рішення рівняння  , Яке задовольняє початковим умовам .

Рішення. характеристичне рівняння  має коріння  . Тому загальним рішенням відповідного однорідного рівняння  буде  . Для першої частини даного рівняння  - Многочлен першого ступеня;  - Многочлен нульової ступеня ;  є корінням характеристичного рівняння. Тому приватне рішення даного рівняння шукаємо у вигляді  або .

знаходимо

Підставляючи в дане рівняння, маємо

Прирівнюючи коефіцієнти при  в обох частинах рівності, отримуємо систему

Вирішуючи цю систему, знаходимо  . тоді

.

Загальне рішення буде  . знаходимо  . Так як  то  . Таким чином,  . підставляючи значення  в загальне рішення, отримаємо частинний розв'язок .

Приклад 6.4. Визначити вид приватного рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння, якщо відомі коріння ,  його характеристичного рівняння і його права частина

.

Рішення. У правій частині  - Многочлени нульового ступеня,  є корінням характеристичного рівняння. Тому приватне рішення матиме вигляд

,

де A и B - Невизначені коефіцієнти.

 

7. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ.

МЕТОД ВИКЛЮЧЕННЯ. Методом Ейлера РІШЕННЯ

ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ З ПОСТІЙНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ

7.1. Нормальна система n-го порядку звичайних

диференціальних рівнянь

Нормальна система n-го порядку звичайних диференціальних рівнянь має вигляд

де t - Незалежна змінна;  - Невідомі функції від  - Задані функції.

Метод виключення невідомих полягає в тому, що дана система приводиться до одного диференціального рівняння n-го порядку з однією невідомою функцією (або до кількох рівнянь, сума порядків яких дорівнює n). Для цього послідовно диференціюють одне з рівнянь системи і виключають все невідомі функції, крім однієї.

Приклад 7.1. Знайти спільне рішення системи диференціальних рівнянь

і приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам .

Рішення. Диференціюючи перше рівняння по t:  . замінюючи тут  її значенням з другого рівняння системи і підставляючи  , Знайдене з першого рівняння, отримаємо після спрощення рівняння другого порядку .

Інтегруємо це рівняння, попередньо знижуючи порядок:

Диференціюючи цю функцію і підставляючи у вираз  , отримаємо

.

Спільним рішенням даної системи диференціальних рівнянь буде

.

Для знаходження приватного рішення підставимо початкові умови

 . отримаємо  , звідки .

Отже, шуканим приватним рішенням системи буде пара функцій:

.

Приклад 7.2. Знайти спільне рішення системи

.

Рішення. Диференціюючи перше рівняння:  . замінюємо  її значенням з другого рівняння і підставляємо потім  . Отримаємо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

.

Його спільне рішення

(Отримано як сума загального рішення  відповідного однорідного рівняння і приватного рішення  неоднорідного

рівняння).

підставляючи x и  в вираз для y, отримаємо

.

Загальне рішення вихідної системи має вигляд

7.2. Лінійна однорідна система n-го порядку

з постійними коефіцієнтами

Лінійна однорідна система n-го порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

де  - Невідомі функції від t.

Дану систему можна записати в матричній формі

,

де

При вирішенні лінійної системи диференціальних рівнянь методом Ейлера приватні рішення системи шукаються у вигляді  , де  - Матриця-стовпець,  - Число.

якщо коріння  характеристичного рівняння  дійсні і різні, загальне рішення системи має вигляд

,

 - Довільні постійні,  - Власний вектор-стовпець матриці A, Що відповідає числу k, тобто  , де E - одинична матриця.

Зауваження. якщо  - Пара простих комплексно-сполучених коренів характеристичного рівняння, то їм відповідають два дійсних приватних рішення  , де  - Дійсні та уявні частини z.

Приклад 7.3. Знайти спільне рішення системи

і приватне рішення, яке задовольняє умовам , .

Рішення. Складаємо і розв'язуємо характеристичне рівняння

Знаходимо власний вектор  , Відповідний корені :

Аналогічно знаходимо власні вектори

відповідні .

Загальне рішення системи таке:

;

або

Для знаходження приватного рішення підставимо в загальне рішення ,  і визначимо  з отриманої системи:

Шукане приватне рішення

.

Приклад 7.4.Знайти спільне рішення системи

Рішення. характеристичне рівняння

має коріння  . Знаходимо власний вектор  , Відповідний корені  з системи:  вважаючи  , отримаємо  . складемо вираз

.

Тут використана формула  . Згідно зауваженням, два приватних рішення вихідної системи мають вигляд

.

Спільним рішенням системи буде

або

7.3. Задачі динаміки, що призводять до вирішення

диференціальних рівнянь

До задачі динаміки точки, що приводить до вирішення диференціальних рівнянь, відносяться ті завдання, в яких визначається рух точки по заданим силам. Сили, що діють на точку, можуть бути як постійними, так і заданими функціями часу, координат, швидкості, тобто

Рішення таких завдань зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь руху точки в координатній формі

 (7.1)

або в природному стані

 (7.2)

У цих рівняннях під F розуміється рівнодіюча всіх сил, в тому числі і реакцій зв'язків, якщо точка не вільна. При інтегруванні системи рівнянь (7.1) в загальному випадку з'являється шість довільних постійних, які визначаються за початковими умовами. Під початковими умовами руху точки розуміються значення координат і проекцій швидкості точки в початковий момент руху, тобто при

Якщо рух точки відбувається на площині, то число рівнянь (7.1) скорочується до двох, а число початкових умов - до чотирьох. При русі точки по прямій матимемо одне диференціальне рівняння і два початкових умови.

При вирішенні завдань корисно дотримуватися такої послідовності.

1. Скласти диференціальне рівняння руху:

а) вибрати координатні осі, помістивши їх початок в початкове положення точки; якщо рух точки є прямолінійним, то одну з координатних осей слід проводити вздовж лінії руху точки; б) зобразити рухому точку в довільний поточний момент t і показати на малюнку всі діючі на неї сили, в тому числі і реакції зв'язків, при наявності сил, що залежать від швидкості, вектор швидкості направити імовірно так, щоб всі його проекції на вибрані осі були поло-жительность; в) знайти суму проекцій всіх сил на вибрані осі і підставити цю суму в праві частини рівнянь (7.1).

2. проинтегрировал отримані диференціальні рівняння. Інтег-рірованіі проводиться відповідними методами, що залежать від виду по-отриманих рівнянь.

3. Встановити початкові умови руху матеріальної точки і по ним визначити довільні постійні інтегрування.

4. З отриманих в результаті інтегрування рівнянь визначити ис-комие величини.

зауваження 1. При інтегруванні диференціальних рівнянь іноді доцільно визначити значення довільних постійних у міру їх появи.

Приклад 7.5. автомобіль маси m рухається прямолінійно зі стану спокою і має двигун, який розвиває постійну тягу F, Спрямовану в бік руху, до повного згоряння пального в момент часу Т, Після чого автомобіль рухається за інерцією до зупинки. Знайти пройдений шлях. Силу опору вважати постійною і рівною R. Зміною маси автомобіля знехтувати.

Рішення. весь шлях S складається з S1 = eAC e, на якому діє сила F до повного згоряння пального і S2 = eCB e, який автомобіль йде по інерції. На шляху АС:

 ; (7.3)

на шляху СВ:

 . (7.4)

Вирішимо диференціальне рівняння (7.3): ;

 ; при  , звідки

 . (7.5)

Інтегруючи, отримаємо  ; при  , звідки ;  . визначимо шлях  , Який пройде автомобіль до повного згоряння пального в момент :  . Вирішимо рівняння (7.4):  . при  швидкість x буде дорівнює швидкості, яку має автомобіль в момент Т згоряння пального і яка з формули (7.5) дорівнює  . Використовуючи ці початкові умови, знайдемо :

.

підставляючи  , маємо

 ; (7.6)

 при .

Тому .

Щоб знайти шлях  , Треба знати час t руху автомобіля по інерції до зупинки (  ).

З (7.6) отримаємо

 - Шлях, пройдений за інерцією;

 - Шуканий шлях.

Питання для самоконтролю

невизначений інтеграл

1. Яка функція  називається первісною для функції  на інтервалі  ? Привести декілька прикладів.

2. Що називається невизначеним інтегралом від функції ?

3. Які основні властивості невизначеного інтеграла? Знати їх і вміти доводити.

4. Таблиця основних інтегралів. Як за допомогою похідної перевірити справедливість табличних формул?

5. Навести приклади «неберущімся інтегралів», тобто інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.

6. У чому полягає метод піднесення під знак диференціала для пошуку невизначеного інтеграла? Привести приклади.

7. Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі. Привести приклади.

8. Формула інтегрування частинами. Привести приклади використання формули для обчислення невизначених інтегралів.

9. Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен:

10. Інтегрування виразів, що містять радикали (ірраціональності) від лінійних або дрібно-лінійних функцій.

11. Інтегрування тригонометричних функцій.

12. Застосування тригонометричних підстановок при інтегруванні деяких ірраціональних функцій. Привести приклади.

Визначений інтеграл

1. Що називається розбиттям відрізка  в інтегральному численні?

2. Дати визначення певного інтеграла  як межі інтегральних сум.

3. Сформулювати і вміти обґрунтовувати геометричний і механічний зміст визначеного інтеграла .

4. Сформулювати умови інтегрованості функції  на відрізку  . Перерахувати класи інтегрованих функцій.

5. Основні властивості визначеного інтеграла.

6. Теорема про повну загальну середню для певного інтеграла.

7. Що називається певним інтегралом із змінною верхньою межею? Теорема про похідну від цього інтеграла за верхньою межею.

8. Формула Ньютона-Лейбніца. Привести приклади.

9. Заміна змінної в певному інтегралі; в чому відмінність цієї заміни від заміни змінної в невизначеному інтегралі?

10. Інтегрування по частинах в певному інтегралі.

11. Особливість обчислення певного інтеграла  по симетричному щодо точки  відрізку  для випадку:

а) непарної функції f (x), x I [a; b];

б) парної функції  на відрізку [a; b].

12. Застосування визначеного інтеграла для обчислення:

а) площі плоскої фігури при різних способах завдання лінії кордону фігури;

б) кількості жиру за відомою площею  його поперечного перерізу і тіл обертання;

в) довжини дуги плоскої кривої при різних способах опису дуги (явне її завдання; параметричне опис і завдання в полярній системі координат).

13. Що називається невласних інтегралом функції :

а) по проміжку ;

б) по проміжку ;

в) по проміжку ?

14. Дати визначення невласного інтеграла від необмеженої на відрізку  функції .

15. Дати визначення сходяться і розходяться невласних інтегралів. Привести приклади.

Функції декількох змінних

1. Дати визначення функції кількох змінних. Привести приклади для випадку двох, трьох і більше змінних.

2. Що називається областю визначення і областю значень функції неяк-ких змінних?

3. Що називається графіком функції декількох змінних?

4. Дати визначення границі функції z = f(x, y) В точці M0(x0; y0).

5. Сформулювати арифметичні властивості меж функцій двох змінних.

6. Дати визначення безперервності функції  в точці .

7. Дати визначення приватних похідних першого порядку по х і по y для функції  ; знати різні види позначень приватних похідних.

8. Що таке повний приріст функції  в точці  ? Привести приклади.

9. Дати визначення і сформулювати достатня умова дифференцируемости функції  в точці .

10. Дати визначення повного диференціала функції  в точці  . Привести інваріантну форму повного диференціала.

11. Формула наближеного обчислення значення функції  в точці  за допомогою повного диференціала.

12. Дати визначення приватних похідних другого, третього і більш високих порядків функції  . Сформулювати теорему про рівність друге змішаних похідних.

13. Дати визначення мінімуму і максимуму  в точці .

14. Необхідні умови екстремуму функції кількох змінних.

15. Достатні умови екстремуму функції .

16. Диференціювання складних і неявних функцій кількох змінних: привести відповідні формули.

17. Записати рівняння: а) дотичній площині і б) нормалі до поверхні при явному і при неявному завданні поверхні.

18. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області  з кордоном G: Сформулювати алгоритм пошуку.

Диференційне рівняння

і системи диференціальних рівнянь

1. Яке рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку?

2. Записати загальний вигляд звичайного диференціального рівняння 1-го порядку, дозволеного відносно старшої похідної.

3. Дати визначення задачі Коші для диференціального рівняння  . Сформулювати достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші.

4. Дати визначення спільних та власних рішень, спільних та власних інтегралів звичайного диференціального рівняння 1-го порядку. Особливе рішення і особливий інтеграл.

5. ДУ із перемінними: дати визначення і описати алгоритм рішення.

6. Однорідне ДУ 1-го порядку: дати його визначення; описати порядок пошуку типу ДУ і викласти алгоритм рішення.

7. Лінійне ДУ 1-го порядку і ДУ Бернуллі: дати їх визначення; викласти метод вирішення.

8. ДУ в повних диференціалах: його визначення, метод розпізнання типу ДУ і алгоритм вирішення.

9. Дати визначення загального рішення і приватного рішення звичайного ДУ n-го порядку. Сформулювати задачу Коші для нього.

10. Перерахувати деякі ДУ 2-го порядку, що допускають зниження порядку; викласти алгоритм вирішення кожного такого ДУ.

11. Лінійне однорідне ДУ n-го порядку з постійними коефіцієнтами: викласти алгоритм методу Ейлера його рішення. Що таке характеристи-чеський рівняння для такого ДУ?

12. Викласти метод варіації довільних сталих для вирішення лінійного неоднорідного ДУ n-го порядку з постійними коефіцієнтами.

13. Викласти алгоритм рішення лінійного неоднорідного ДУ n-го порядку з постійними коефіцієнтами і зі спеціальною правою частиною.

14. Дати визначення нормальної системи n-го порядку звичайних ДУ. Описати метод виключення невідомих для її вирішення.

15. Викласти метод Ейлера рішення лінійної однорідної системи ДУ n-го порядку з постійними коефіцієнтами.

16. Завдання динаміки, що призводять до диференціальних рівнянь. Привести приклади.

Контрольна робота № 2

1-20. Знайти невизначені інтеграли:

1. a)  ; б)  ; в)  ; г) .

2. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

3.а)  ; б)  ; в) ;

г) .

4.а)  ; б)  ; в) ;

г) .

5.

6.а)  ; б)  ; в) ;

г) .

7.а)  ; б)  ; в)  ; г)

8.а)  ; б)  ; в)  ; г)

9. а)  ; б)  ; в) ;
 г) .

10. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

11.а)  ; б)  ; в)  ; г)

12. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

13. а)  ; б)  ; в) ;

г) .

14. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

15. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

16. а)  ; б)  ; в) ;
 г) .

17. а)  ; б)  ; в) ;

г) .

18. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

19. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

20. а)  ; б)  ; в)  ; г) .

21-40. Додатки певного інтеграла.

21-26. Обчислити площі фігур, обмежених лініями:

21. . 22. .

23. . 24.

25. 26. .

27-33. Знайти довжину дуги кривої:

27. . 28. .

29. . 30. 31.

32. . 33. .

34-40. Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Ox фігури, обмеженої лініями:

34. . 35. . 36. .

37. . 38. .

39. 40. .

41-60. знайти  для функції .

41. . 42. . 43. . 44. .

45. . 46. . 47. . 48. . 49. .

50. . 51. . 52. .

53. . 54. . 55. . 56. .

57. . 58. . 59. .

60. .

61-80. Знайти найбільше і найменше значення функції  в заданій замкнутій області .

61. .

62. .

63. .

64. .

65. .

66. .

67. .

68. .

69. .

70. .

71. .

72. .

73. .

74. .

75. .

76. .

77. .

78. .

79. .

80. .

81-100. Проінтегрувати диференціальне рівняння. При заданому початковому умови знайти відповідний приватний інтеграл або часткове рішення.

81. . 82. .

83. . 84. .

85. . 86. .

87. . 88. .

89. .

90. . 91. .

92. . 93. .

94. . 95. .

96. . 97. .

98. . 99. .

100. .

101-120.Проінтегрувати диференціальні рівняння.

101. .

102. 103. .

104..

105. .

106. .

107. .

108. .

109.

110. .

111. .

112. . 113. .

114. .

115. .

116.

117. . 118. .

119. .

120. .

121-140. Знайти спільні рішення рівнянь.

 121.  .123.  .125.  .127.  .129.  .131.  .133.  .135.  .137.  .139. .  122.  .124.  .126.  .128.  .130.  .132.  .134.  .136.  .138.  .140.  .

ЛІТЕРАТУРА

1. Математика: збірник завдань для аудиторної та самостійної роботи студентів інженерно-технічних спеціальностей втузів: в 2 ч. / А. Н. Андріянчік [и др.]. - Мінськ: БНТУ, 2005. - Ч. 1.

2. Герасимович, А. І. Математичний аналіз. / А. І. Герасимович, Н. А. Рисюк. - Мінськ: Вишейшая школа, 1990. - Ч. 1, 2

3. Гусак, А. А. Вища математика: у 2 т. / А. А. Гусак. - Мінськ: Вид-во БГУ, 1978, 1983. - Т. 1, 2.

4. Данко, П. Е. Вища математика у вправах і завданнях: в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - М .: Вища школа, 1986. - Ч. 1, 2.

5. Жевняк, Р. М. Вища математика: у 2 ч. / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. -Мінськ: Вишейшая школа, 1985. - Ч. 1, 2.

6. Кудрявцев, Л. Д. Короткий курс математичного аналізу / Л. Д. Кудрявцев. - М .: Наука, 1989.

7. Піскунов, Н. С. Диференціальне та інтегральне числення для втузів: в 3 т. / Н. С. Піскунов- М .: Наука: 1985. - Т. 1-3.

8. Суха, Т. А. Завдання з вищої математики: навчальний посібник: в 2 ч. / Т. А. Суха. - Мінськ: Вишейшая школа, 1993.

9. Вища математика для інженерів / С. А. Минюк [и др.]; під ред. Н. А. Мікуліка. - Мінськ: Елайд, 2007. - Т. 1, 2.

10. Індивідуальні завдання з вищої математики: в 4 ч. / Під ред. А. П. Рябушко. - Мінськ: Вишейшая школа, 2004.

11. Щипачов, В. С. Вища математика / В. С. Щипачов. - М .: Вища школа, 1985.

ЗМІСТ

 



 Рішення. |  Житомир - 2011
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати