На головну

 Тема 3. Функції декількох змінних |  Тема 4. Звичайні диференціальні рівняння |  Основні правила інтегрування |  Приклад 1.6. |  Класи функцій, що інтегруються частинами |  Приклад 1.12. |  Рішення. |  Рішення. |  Зауваження. |

Рішення.

  1.  A) Сформулюйте задачу за критерієм «максимум прибутку», побудуйте модель і знайдіть рішення.
  2.  IV. Скласти диференціальне рівняння і знайти рішення.
  3.  Диференціальне рівняння затухаючих коливань і його рішення. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його рішення.
  4.  ДУ Бернуллі і його рішення.
  5.  Міжособистісні конфлікти, їх конструктивне вирішення.
  6.  Міжособистісні конфлікти, їх конструктивне вирішення.
  7.  Знаходимо початкове опорне рішення.

2.1.4. Площа плоскої фігури

1. Площа криволінійної трапеції, обмеженою прямими x = a, x = b,

(a < b), Віссю Ox і безперервної кривої y = f(x) (f(x) ? 0) обчислюється за формулою

.

Приклад 2.4. Знайти площу області, обмеженої лініями y = x2+1 і

y = 9 - x2.

Рішення. Побудуємо область (рис 2.1). Знайдемо абсциси точок перетину

A, B: , .

Так як фігура симетрична щодо осі Oy, то

Мал. 2.1.

Приклад 2.5. Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x2, y = 4x, 2x + y - 3 = 0,  (Рис. 2.2).

Мал. 2.2.

Рішення. Знаходимо абсциси точок перетину A и B.

.

2. Якщо фігура обмежена кривою, заданої параметричними рівняннями x = x(t), y = y(t), A ? t ? b, прямими x = a, x = b і віссю Ox, то

,

де a = x(A), b = x(B), y(t) ? 0.

Приклад 2.6. Знайти площу фігури, обмеженою циклоїдою
 і прямий y = a, (а ? 0).

Рішення. Для знаходження меж інтегрування по t вирішуємо систему

.

Площа фігури A1ACBB1 (Рис. 2.3) виражається інтегралом

.

Площа прямокутника AA1B1B дорівнює ,
 так як .

шукана площа .

Мал. 2.3.

3. Площа сектора, обмеженого безперервної кривої в полярних координатах r = r (j) і променями j = a, j = b, (a> b), виражається інтегралом

.

Приклад 2.7. Знайти площу фігури, обмеженою частиною лемніскати Бернуллі  , Що лежить всередині кола .

Рішення. Рівняння лемніскати Бернуллі в полярних координатах:  ; а окружності:  (Рис. 2.4).

Вирішуємо систему:  Звідси

p

Мал. 2.4.

2.2. Обчислення довжин дуг кривих. обчислення обсягів

Якщо плоска крива задана рівнянням y = f(x), Де f(x) - Безперервно диференціюється функція, a ? x ? b, То довжина l дуги цієї кривою виражається інтегралом

.

Якщо ж крива задана параметричними рівняннями x = x(t), y = y(t)

(A ? t ? b), то .

Аналогічно виражається довжина дуги просторової кривої, описаної параметричними рівняннями: x = x(t), y = y(t), z = z(t), A ? t ? b:

.

Якщо задано полярне рівняння кривої r = r (j), a ? j ? b, то

.

якщо площа S(x) Перетину тіла площиною, перпендикулярній осі Ox, Є безперервною функцією на відрізку [a, b], То обсяг тіла обчислюється за формулою

.

Об `єм V тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f(x), (f(x) ? 0), віссю абсцис і прямими x = a и

x = b (a < b), Виражається інтегралом

.

Приклад 2.8. Обчислити довжину дуги кривої  , Відтятою прямий  (Рис. 2.5).

Мал. 2.5

Рішення. довжина дуги АОВ дорівнює подвоєною довжині дуги ОА.

Приклад 2.9. Обчислити довжину дуги кривої
 якщо t змінюється від t1 = 0 до t2 = P.

Рішення. диференціюючи за t, отримуємо

звідки .

отже, .

Приклад 2.10. Знайти довжину дуги кардіоїди r = a(1 + cosj), (a > 0, 0 ? j ? 2p) (рис. 2.6).

Рішення. тут

 . В силу симетрії .

Мал. 2.6.

Зауваження. Побудова лінії ведеться в полярній системі координат по точках, які в достатній кількості записуються у вигляді таблиці їх ко-ординат.

Приклад 2.11. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox фігури, обмеженої лініями и  (Рис. 2.7).

Рішення. Знайдемо абсциси точок перетину кривих:

 -3

Мал. 2.7.

Шуканий обсяг є різниця двох обсягів: обсягу V1 тіла, отриманого обертанням криволінійної трапеції, обмеженою прямий  , І обсягу V2 тіла, отриманого обертанням криволінійної трапеції, обмеженою параболою  . використовуючи формулу  , отримуємо

2.3. невласні інтеграли

2.3.1. Інтеграли з нескінченними межами

(Невласні інтеграли першого роду)

якщо функція  неперервна при  , То невласних інтегралом першого роду називається наступний межа:

.

Якщо існує кінцевий межа в правій частині цієї формули, то невласний інтеграл називається збіжним; якщо ж ця межа не існує або дорівнює ?, то розходяться.

Аналогічно визначаються невласні інтеграли

,

,

де c I R - число.

Приклад 2.12. обчислити .

Рішення. маємо:

.

Приклад 2.13. обчислити .

Рішення.  - Безперервна функція на ;

тоді  . Інтеграл сходиться.

2.3.2. Інтеграли від необмежених функцій

(Невласні інтеграли другого роду)

якщо  неперервна при a < x < b і в точці x = b необмежена, то невласних інтегралом другого роду називається

.

Якщо існує кінцевий межа в правій частині цієї формули, то невласний інтеграл називається збіжним; якщо ж ця межа не існує або дорівнює  , То-що розходяться.

Аналогічно визначається інтеграл і в разі .

.

У разі, коли f(c) = ± , c I (a, b), То

.

Приклад 2.14. Обчислити або встановити розбіжність .

Рішення.  - Неперервна на (0, 1],  . отже,  - Невласний інтеграл другого роду. .  отже, інтеграл розходиться.

3. ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

3.1. Поняття функції кількох змінних

нехай D - Довільна множина точок n-мірного арифметичного простору. Якщо кожній точці P(x1, x2, ..., xn) I D поставлено у відповідність деяке дійсне число f(P) = f(x1, x2, .., xn), То говорять, що на безлічі D задана числова функція f від n змінних x1, x2, .., xn. безліч D називається областю визначення, а множина E = {uIR|u = f(P), PID} - Областю значень функції u = f(P).

В окремому випадку, коли n = 2, функцію двох змінних z = f(x, y) Можна зобразити графічно. Для цього в кожній точці (x, y) ID обчислюється значення функції z = f(x, y). Тоді трійка чисел (x, y, z) = (x, y, f(x, y)) Визначає в системі координат Oxyz деяку точку P. сукупність точок P(x, y, f(x, y)) Утворює графік функції z = f(x, y), Що представляє собою деяку поверхню в просторі R3.

3.2. Межа і неперервність функції кількох змінних

число А називається межею функції u = f(P) При прагненні точки P(x1, x2, ..., xn) До точки P0(a1, a2, ..., an), Якщо для будь-якого e> 0 існує таке d> 0, що з умови  слід  . При цьому пишуть:

.

функція u = f(P) Називається безперервної в точці  , Якщо:

1) функція f (P) визначена в точці ;

2) існує ;

3) .

Функція називається неперервною в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. якщо f(P) Визначена в деякому околі точки  і хоча б одна з умов 1-3 порушено, то точка  називається точкою розриву функції f(P). Точки розриву можуть бути ізольованими, утворювати лінії розриву, поверхні розриву і т.д.

3.3. Диференціювання функцій кількох змінних

3.3.1. Приватне і повне приросту функції

нехай z = f(x, y) - Функція двох незалежних змінних і D(f) - Область її визначення. Виберемо довільну точку  і дамо  приріст  , Залишаючи значення  незмінним. При цьому функція f(x, y) Одержить приріст:

яке називається приватним збільшенням функції f(x, y) по x.

Аналогічно, вважаючи  постійної і даючи  приріст ,

отримаємо приватна приріст функції z = f(x, y) по y:

Повним приростом функції  в точці  називають приріст  , Яке викликається одночасним збільшенням обох незалежних змінних x и y:

.

Геометрично приватні збільшення і повний приріст функції  можна зобразити відповідно відрізками  (Рис. 3.1).

Мал. 3.1.

Приклад 3.1. Знайти приватні і повне приросту функції  в точці  , якщо .

Рішення. обчислимо значення

якщо  , То для неї розглядаються приватні збільшення  і повний приріст .

3.3.2. Приватні похідні

Визначення. Приватної похідною функції z = f(x, y) По змінній x називається межа відносини приватного приросту функції  до приросту аргументу  , Коли останнім прагне до нуля:

.

Приватну похідну функції  по змінній x позначають символами

Таким чином,

.

Визначення. Приватної похідною функції z = f(x, y) По змінній y називається межа відносини приватного приросту функції  до приросту аргументу  , Коли останнім прагне до нуля:

.

Застосовуються також позначення .

Приватні збільшення і приватні похідні функції n змінних при n > 2 визначаються і позначаються аналогічно. Так, наприклад, нехай точка  - Довільна фіксована точка з області визначення функції  . Надаючи значення змінної  приріст  , Розглянемо межа

Ця межа називається приватної похідною (1-го порядку) даної функції по змінній  в точці  і позначається

.

Приклад 3.2. знайти  , де .

Рішення. для знаходження  вважаємо y, z константами, а функцію  - Функцією однієї змінної x. тоді

аналогічно .

Приватними похідними 2-го порядку функції  називаються приватні похідні від її приватних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються наступним чином:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядки вище другого.

Приклад 3.3. Знайти приватні похідні другого порядку для функції .



 Приклад 1.23. |  Рішення.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати