На головну

Матриці. Операції над матрицями. | Визначники. Їх обчислення. | Обернена матриця. | Системи лінійних рівнянь. | Метод Крамера. | Теорема Кронекера - Капеллі. | Деякі застосування похідної | ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАНИЦЬ ТА ПОХІДНИХ. |

Завдання №1(варіанти наведені у таблиці 3.3 ).

  1. IV. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ ПРАЦІ ПІД ЧАС ПІДГОТОВКИ ДО ЗАНЯТТЯ
  2. Аналіз завдання
  3. АНТИКРИЗОВЕ ФІНАНСОВЕ УПРАВЛІННЯ НА ПІДПРИЄМСТВІ: СУТНІСТЬ, ЦІЛІ І ЗАВДАННЯ.
  4. Атестація робочих місць за умовами праці. Мета, основні завдання та зміст атестації. Організація робіт та порядок проведення атестації робочих місць. Карта умов праці.
  5. Аудиторні завдання
  6. Аудиторні завдання
  7. Аудиторні завдання

Скласти вектори ; та . Знайти:

1) модулі векторів , та ;

2) орти векторів , та ;

3) кут між векторами , і ;

4) скалярний добуток ;

5) векторний добуток ;

6) мішаний добуток ;

7) обчислити вираз ;

8) побудувати на площині вектор , якщо , (користуючись правилом паралелограма або трикутника); вектори та брати довільними;

9) розкласти вектор у векторному базисі , , (перевірити спочатку, що вектори , , лінійно незалежні).

3. Аналітична геометрія

Пряма на площині. На площині, де введена прямокутна система координат XOY, розглянемо пряму АВ з заданою точкою М0(x0;y0).

Канонічне рівняння прямої на площині: , де - напрямний вектор прямої, що паралельна прямій АВ.

М0(x0;y0).
x
A
y

Пряму можна описати і іншими способами:


1) рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

B
,

де - кутовий коефіцієнт або тангенс додатнього кута, який утворює пряма з додатнім напрямком вісі Ox;

2) рівняння прямої, що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом

;

3) рівняння прямої, що проходить через дві задані точки: , де М1(x1;y1) та М2(x2;y2) - відомі точки прямої;

4) загальне рівняння прямої : , де - нормальний вектор, що направлений перпендикулярно до прямої;

5) рівняння прямої у відрізках : , де та - відрізки, що відсікає пряма від осей координат;

6) нормальне рівняння прямої : , де - перпендикуляр, який опущено на пряму з початку координат, а кут - це кут між цим перпендикуляром і віссю Ox..

Якщо будь-яке загальне рівняння помножити на множник (знак береться протилежним знаку С), то отримаємо нормоване рівняння прямої.

Відстань від точки М0(x0;y0) до заданої прямої обчислюємо за формулою

.

Координати точки С, яка поділяє пряму АВ на частини, які мають відношення довжин , обчислюються за формулами

; .

Паралельність прямих доводиться рівністю їх кутових коефіцієнтів. Перпендикулярність прямих з кутовими коефіцієнтами та визначається співвідношенням . Кут між прямими можна обчислити за формулою . Відстань між двома точками площини обчислюється за формулою .

Площина. Будь-яка площина у просторі описується лінійним рівнянням

(1)

і навпаки, будь-яке рівняння (1) у просторі описує деяку площину. Щоб скласти рівняння площини у просторі, достатньо задати точку М0(x0;y0;z0), через яку вона проходить, і вектор , перпендикулярний площині (нормальний вектор площини). Тоді будь-який вектор , що належить площині, буде перпендикулярним до , тобто . Це і є векторне рівняння площини.

У координатній формі маємо .

Щоб скласти рівняння площини, що проходить через три точки М0(x0;y0;z0), М1(x1;y1;z1) та М2(x2;y2;z2), треба виконати умову комплaнарності трьох векторів , та , де М(x; y; z) - довільна точка площини, тобто маємо . Мішаний добуток обчислюємо як визначник , складений з координат векторів. Відстань від точки М0(x0;y0;z0) до площини обчислюємо за формулою

.

Пряма у просторі. Канонічне рівняння прямої у просторі визначається умовою паралельності деякого вектора (напрямний вектор прямої) та довільного вектора , що належить прямій:

.

Якщо ввести параметр , то будемо мати параметричне рівняння прямої :

; ; , де - будь-яке дійсне число.

Рівняння прямої, що проходить через 2 точки М1(x1;y1;z1) та М2(x2;y2;z2), має вигляд:

.

Іноді рівняння прямої розглядається як перетин двох площин

.

Канонічне рівняння отримаємо, якщо послідовно виключити з системи невідомі та .

Умови паралельності і перпендикулярності прямих, а також прямої і площини витікають з відповідних властивостей напрямних векторів, напрямного та нормального векторів.

Кут між прямою і площиною знаходимо за формулою

, де , .

Криві другого порядку на площині. Маємо 4 види кривих другого порядку на площині: коло, еліпс, гіпербола і парабола.

Коло - геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки, що називається центром кола. Рівняння кола: , де - поточні координати, - координати центра, - радіус кола.

Еліпс - геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох заданих точок (фокуси еліпса) є величина стала.

Рівняння еліпса: , де - поточні координати, та - велика і мала півосі.

Ексцентриситет еліпса: , де - відстань між фокусами еліпса. Маємо співвідношення .

Гіпербола - геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Рівняння гіперболи: , де - поточні координати, та - велика і мала півосі.

Ексцентриситет гіперболи: . Прямі називаються асимптотами гіперболи.

Парабола - геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).

Рівняння параболи: , де - параметр параболи. Ексцентриситет параболи .

Маємо чотири види параболи з вісями симетрії по Ох та Оy.

Поверхні другого порядку. Основним методом дослідження форми поверхонь за їх рівняннями є метод перерізів, який полягає у наступному:

1) знаходять перерізи поверхонь з кожною координатною площиною ( );

2) знаходять перерізи поверхонь з площинами, паралельними координатним площинам ( );

3) за отриманими кривими роблять висновок про форму поверхні;

4) виконують схематичний малюнок поверхні.

Для висновків маємо наступний перелік поверхонь: куля, еліпсоїд, еліптичний та гіперболічний параболоїди, однополосний та двополосний гіперболоїди, конус, циліндр.

Рівняння та малюнки поверхонь можна подивитися у довіднику з вищої математики.

Завдання №1(варіанти завдань у таблиці 3.1 ). У трикутнику АВС потрібно знайти:

1) рівняння сторони ВС;

2) величину кута при вершині А;

3) рівняння і довжину висоти до сторони ВС;

4) рівняння і довжину медіани до сторони ВС;

5) рівняння бісектриси кута при вершині А;

6) площу трикутника АВС.

Завдання №2(варіанти завдань у таблиці 3.2 ).

Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої від точки М0(x0;y0) і від прямої або відносяться як . Зобразити лінію на малюнку.

Завдання №3(варіанти завдань у таблиці 3.3). Задані координати вершин піраміди . Потрібно знайти:

1) рівняння ребер та та їх довжини;

2) кут між ребрами та ;

3) рівняння грані ;

4) кут між ребром та гранню ;

5) довжину висоти , проведеної з вершини на грань ;

6) рівняння висоти ;

7) координати точки перетину висоти з гранню ;

8) координати точки, яка симетрична точці відносно грані ;

9) рівняння площини, що проходить через А1А4 перпендикулярно площині А1А2А3.

Таблиця 3.1 Таблиця 3.2

Варі-ант А(х1; у1) В(х2; у2) С(х3; у3)   Варі-ант Рівняння прямої М00; у0) m:n
1. (0;-2) (1; 1) (-2; 1)   1. 2x-3=0 (1; 1) 3:2
2. (0; 1) (1; -1) (1; 0)   2. x+2=0 (-1; 0) 2:3
3. (1; 0) (1; -2) (-1; 1)   3. y-2=0 (1; 2) 1:1
4. (2; 1) (2; 2) (3; 1)   4. 1/2y+4=0 (-2; 4) 1:2
5. (3; 0) (3; 2) (4; 1)   5. x-1=0 (-1; 1) 2:1
6. (-1; 3) (-1; -2) (1; 1)   6. 2x+1=0 (0; 2) 5:6
7. (0; 1) (1; 1) (2; -1)   7. 2y-3=0 (2; 0) 3:4
8. (2; 2) (8; 3) (-1; -1)   8. 3y+5=0 (3; 1) 1:2
9. (4; 7) (2; 5) (0; 0)   9. y-1=0 (-1; 2) 2:3
10. (3; 2) (-3; 0) (0; 4)   10. x+1=0 (2; 4) 3:5
11. (2; 3) (1; -1) (6; 4)   11. x-5=0 (1; -1) 1:1
12. (7; -1) (-3; 2) (2; 7)   12. y+1=0 (6; 5) 2:1
13. (3; -4) (10; 1) (0; 7)   13. x-2=0 (4; 3) 3:2
14. (-1; -3) (-5; 4) (2; 9)   14. 3x+4=0 (2; 1) 2:3
15. (2; 1) (1; 1) (3; -5)   15. x+2=0 (0; -1) 1:1
16. (4; 6) (-4; 6) (-1; 0)   16. 3x-1=0 (0; 1) 1:1
17. (2; 8) (-2; 4) (3; 1)   17. y+2=0 (1; 1) 6:5
18. (1; -1) (0; 1) (2; 1)   18. y-1=0 (1; -2) 2:1
19. (0; 2) (-1; 1) (2; 4)   19. y-5=0 (1; 1) 5:3
20. (9; 3) (7; 1) (-2; 5)   20. 2x+3=0 (1; 2) 2:3
21. (0; 4) (0; 0) (-1; 2)   21. y-1=0 (-1; -1) 1:2
22. (5; 3) (3; 8) (0; 7)   22. x+1=0 (1; 4) 1:2
23. (6; 9) (-4; 0) (7; 1)   23. 2x-3=0 (1; 3) 1:1
24. (2; 9) (10; 1) (0; -5)   24. x-8=0 (1; 1) 4:3
25. (-1; 2) (3; 7) (1; 2)   25. x-3=0 (-1; 1) 2:1
26. (7; 1) (9; 3) (-2; 5)   26. 3x+4=0 (2; 1) 2:3
27. (3; -5) (2; 1) (1; 1)   27. y+2=0 (1; 1) 6:5
28. (0; 7) (3; -4) (10; 1)   28. x+1=0 (1; 4) 1:2
29. (-2; 4) (2; 8) (3; 1)   29. y-1=0 (1; -2) 2:1
30. (-4; 0) (7; 1) (6; 9)   30. x-2=0 (4; 3) 3:2

Таблиця 3.3

Варі-ант А1(x1; y1; z1) А2(x2; y2; z2) А3(x3; y3; z3) А4(x4; y4; z4)
1. (1; 3; 6) (2; 2; 1) (-1; 0; 1) (-4; 6; -7)
2. (-4; 2; 6) (2; -3; 0) (-10; 5; 8) (-5; 2; -4)
3. (7; 2; 4) (7; -1; -2) (3; 3; 1) (-4; 2; 8)
4. (2; 1; 4) (-1; 5;-2) (-7; -3; 2) (-6; -3; 6)
5. (-1; -5; 2) (-6; 0; -3) (3; 6; -3) (-10; 6; 7)
6. (0; -1; 1) (-2; 3; 5) (1; -5; -9) (-1; -6; 3)
7. (5; 2; 0) (2; 5; 0) (1; 2; 4) (-1; 1; 1)
8. (2; -1; -2) (1; 2; 1) (5; 0; -6) (-10; 9; -7)
9. (-2; 0; -4) (-1; 7; 1) (4; -8; -4) (1; -4; 6)
10. (14; 4; 5) (-5; -3; 2) (-2; -6; -3) (-2; 2; -1)
11. (1; 2; 0) (3; 0; -3) (5; 2; 6) (8; 4; -9)
12. (2; -1; 2) (1; 2; -1) (3; 2; 1) (-4; 2; 5)
13. (1; 1; 2) (-1; 1; 3) (2; -2; 4) (-1; 0; -2)
14. (2; 3; 1) (4; 1; -2) (6; 3; 7) (7; 5; -3)
15. (1; 1; -1) (2; 3 ;1) (3; 2; 1) (5; 9; -8)
16. (1; 5; -7) (-3; 6; 3) (-2; 7; 3) (-4; 8; -12)
17. (-3; 4; -7) (1; 5; -4) (-5; -2; 0) (2; 5; 4)
18. (-1; 2; -3) (4; -1; 0) (2; 1; -2) (3; 4; 5)
19. (4; -1; 3) (-2; 1; 0) (0; -5; 1) (3; 2; -6)
20. (1; -1; 1) (-2; 0; 3) (2; 1; -1) (2; -2; -4)
21. (1; 2; 0) (1; -1; 2) (0; 1; -1) (-3; 0; 1)
22. (1; 0; 2) (1; 2; -1) (2; -2; 1) (2; 1; 0)
23. (1; 2; -3) (1; 0; 1) (-2; -1; 6) (0; -5; -4)
24. (3; 10; -1) (-2; 3; -5) (-6; 0; -3) (1; -1; 2)
25. (-1; 2; 4) (-1; -2; -4) (3; 0; -1) (7; -3; 1)
26. (1; 2; 0) (1; 2; -1) (-5; -2; 0) (-3; 0; 1)
27. (3; 10; -1) (1; 5; -4) (-2; 7; 3) (2; 5; 4)
28. (3; 4; 5) (2; 1; -2) (4; -1; 0) (-1; 2; -3)
29. (2; -2; 1) (1; 2; -1) (1; 0; 2) (2; 1; 0)
30. (2; 3 ;1) (1; 1; -1) (5; 9; -8) (3; 2; 1)

Завдання №4: звести до канонічного виду рівняння поверхонь, заданих у таблицях 3.4 та 3.5; методом перерізів провести дослідження і побудувати ці поверхні.

Таблиця 3.4 Таблиця 3.5

Варі-ант Рівняння поверхонь   Варі-ант Рівняння поверхонь
1. х22+z2=6x-4z   1. x2-4y2=16z
2. x2+y2+z2-3x+6y+2z-5=0   2. z=x2+y2-6y+10
3. x2+y2+z2-2x+4y-6z-22=0   3. x2+y2=(z+1)
4. x2-3y2+2z2+2x-6y+4z=0   4. 4x2-9y2=36z
5. x2+y2+z2-12x+4y-6z=0   5. x2+y2-2x-2y-4z+2=0
6. 2x2+y2+2z2-4x+4y+4z+7=0   6. x2+2x+y2-6y-6=0
7. x2-y2+4z2-10x+6y-16z+16=0   7. x2+y2-2x+2y+2=z
8. x2+y2+4z2-2x-15=0   8. z=4-y2
9. 3x2+3y2-3z2-6x+4y+4z+3=0   9. y2+z2=x2
10. x2-6y2+3z2+8x+12y+1=0   10. z=x2+2
11. x2+4y2+9z2-6x+8y-18z-14=0   11. x2+(y-1) 2=z2
12. 3x2+3y2+3z2-6x+4y-1=0   12. y2+z2-x-4=0
13. x2+y2+z2-2x-2y-2z-1=0   13. x2+z2-4y=0
14. 2x2-y2+z2+4x+2y+8z+1=0   14. x2+y2-2z=0
15. 3x2-4y2-6x+8y-z2+11=0   15. x2+z2-y-1=0
16. x2+y2+z2-8z+12=0   16. x2+3y2-3z+3=0
17. x2+2y2-3z2+2x+4y-6z=0   17. 2x2-2+2=0
18. 2x2+2y2+2z2-5y-8=0   18. x2+y2+2x-6y+10=z
19. x2+4y2-z2-10x-16y+6z+16=0   19. (x-1) 2+z2=y2
20. x2+y2+4z2+2x-4y+2=0   20. 2y2-z-2=0
21. 2x2+3y2+z2+6y-9=0   21. z=9-x2
22. 4x2-4y2+4z2+2x-6y+8z-5=0   22. 4x2-y2=16z
23. x2+3y2+3z2+2x-8=0   23. (y+2) 2+z2=x2
24. 2x2+3y2+4z2-4x+6y-7=0   24. x2+4z2-16y+16=0
25. x2+y2+z2-4z=0   25. x2+z2-2x-2z-7=0
26. 3x2+3y2+z2-6x+6y-3=0   26. z=y2-4
27. x2+2y2+z2-6x+1=0   27. x2-9y2=9z
28. 4x2+y2+4z2-2y-15=0   28. y2+z2=(x-1)2
29. 3x2+2y2+z2-6x-9=0   29. x2+z2-y+1=0
30. x2+y2+z2-6x=0   30. 2x2+3y2-4x+6y-13=0

ПЕРЕЛІК НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Міхайленко В. М., Овчинніков П. П., Яремчук Ф. П. " Вища математика" , ч.1,2. -Київ:

"Техніка", 2000р.

2. Журавель О. О. Вища математика. Збірник завдань для курсових і самостійних робіт. -

Київ,1998р.

3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. -М.: Наука, 1964.

4. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического

анализа. Под редакцией Ефимова А. В. и Демидовича Б. М.-М.: Наука, 1981.

5. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике.- Из-во Харьковского

университета, 1972.

6. Бугров Я. С., Никольский С. М. - Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-М.:

Наука, 1980.

Математичний аналіз

Границі. Число А називається границею функції f(x) при , якщо для

будь-якого малого ε > 0 знайдеться таке δ > 0, що | f(x)-A | < ε при

|x-a| < δ. Це записується так: .

Аналогічно, , якщо | f(x)-A | < ε при | x | > N.

Якщо , то f(x) називається нескінченно великою при .

Якщо , то f(x) називається нескінченно малою при .

Практичне обчислення границь базується на наступних теоремах:

1.

2.

3. / при умові ≠0.

Також використовують наступні границі:

Перша визначна границя: .

Нескінченно малі, відношення яких дорівнює одиниці, називаються еквівалентними, тобто взаємозамінними (пишуть sinx ~ x).

Друга визначна границя:

При обчисленні границь зустрічаються деякі невизначенності, наприклад, , тощо. Для того, щоб позбавитися від невизначенностей, використовують деякі алгебраїчні перетворення, а саме: розклад многочленів на множники, використовують формули скороченного множення, щоб позбутися ірраціональності у виразах,

використовують властивості логарифмів та прогресій.

При розв"язуванні прикладів корисно мати на увазі наступні рівності:

Приклади обчислення границь:

1. = = = =

2. = = = 1

3.

4. ( ) Маємо геом. прогресію зі знаменником q . За

формулою суми прогресії маємо S = , отже = = .

5. = = = = .

6. = =

=

7. = = = = .

8. = =

= = .

9. = = = ln = lne = 1.

10.

11.

 



ПРИКЛАД 2. | Диференціювання неявних функцій
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати