Головна |
ПРИКЛАД 2.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера (метод визначників), методом Гаусса та матричним, порівняти результати. = =32+6+6+12-8+12=60; =64+22+22+44-16+44=180; =88-24-33+33+44-12*4=88-20-48=60; =88-33-24-16*3+44+33=88-28=60; x = = =3 x = = =1 x = = =1 Перевірка 2·3-1-1=4 4=4 3·3+4-2=11 11=11 3·3-2+4=11 11=11 Метод Гаусса: а) від 3 рядка віднімаємо 2; б) 1-й рядок множимо на 3, а 2-й рядок на -2 і додаємо до 2-го 1-й; в) 3-й рядок ділимо на -6; г) 3-й рядок множимо на 11 і складаємо з 2-м; ; -10 х3 = -10 x3 = 1; -11 x2 + х3 = -10 x2 = 1; 2 x1 - х2 - х3 = 4 x1 = 3. Метод оберненої матриці А= ; =60 А = · x= ; b= ; А = = 16 - 4 = 12 А = - = - (-4-2) = 6 А = - = - (12 + 6) = -18 А = = 8+3 = 11 А = = -6 -12 = -18 А = - = 1 А = = 2+4 = 6 А = - = +4-3 = 1 А = = 8+3 = 11 А = Перевірка А· А = = = ; X= А ·b= * = ; x =3; x =1; x =1. 2. Елементи векторної алгебри Завдання з векторної алгебри спрямовані на засвоєння основних означень векторної алгебри, скалярного, векторного і мішаного добутків. Вектор -величина , повністю визначена своїм напрямом і довжиною. Проекції вектора на координатні осі називають його координатами (декартовими): =( ). Якщо відомі координати початку і кінця вектора , де M( ) та N( ), то за формулою (або ) можна визначити його модуль (довжину). Якщо - кути, що складає вектор з осями координат, то є напрямними косинусами вектора . Тоді , , і . Орт вектора позначається , а . Скалярним добутком двох векторів і називають число, що дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними: . В координатній формі скалярний добуток має вигляд: , тому косинус кута можна знайти за формулою: . Властивості скалярного добутку: 1) (комутативність); 2) (дистрибутивність); 3) (для будь-якого l); 4) . Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Вектори паралельні, якщо їх координати пропорційні. Щоб знайти проекцію вектора на вектор , ми користуємося формулою пр Векторним добутком векторів і називають новий вектор , який визначається трьома умовами: 1) ; 2) перпендикулярний як до , так і до ; 3) впорядкована трійка векторів , та , відкладених від однієї точки, утворює правий базис (правило "буравчика"). В координатній формі . Властивості векторного добутку: 1) ; 2) ; 3) ; 4) (якщо вектори та паралельні). Площу паралелограма, побудованого на векторах та , обчислюємо за формулою: Sпарал.= , а площу трикутника можна обчислити за формулою Sтрик.= . Мішаним (скалярно-векторним) добутком трьох ненульових некомпланарних векторів , та називають число, абсолютна величина якого дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, що виходять з однієї точки. Це число додатнє, якщо трійка векторів утворює правий базис. В координатній формі мішаний добуток знаходимо як визначник: . Властивості мішаного добутку: ; Якщо вектори , та компланарні (тобто належать одній або паралельним площинам), то їх мішаний добуток дорівнює нулю. Якщо вектор можна представити у вигляді , де - деякі числа, що одночасно не дорівнюють нулю, то говорять, що вектор розкладений за векторами . Теорема. Нехай маємо три некомпланарні вектори , та . Будь-який вектор може бути єдиним образом розкладений за цими векторами, тобто існують єдині такі числа , що . У координатній формі це рівняння перетворюється у систему лінійних рівнянь, де невідомими є числа .
Теорема Кронекера - Капеллі. | Завдання №1(варіанти наведені у таблиці 3.3). Матриці. Операції над матрицями. | Визначники. Їх обчислення. | Обернена матриця. | Системи лінійних рівнянь. | Метод Крамера. | Диференціювання неявних функцій | Деякі застосування похідної | ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАНИЦЬ ТА ПОХІДНИХ. | |