На головну

 Екстремум функції кількох змінних |  емпіричні формули |  Лінійної залежності величин |  Квадратичної залежності величин |  подвійний інтеграл |  Обчислення подвійного інтеграла |  Подвійний інтеграл в полярних координатах |  Додатки подвійного інтеграла |  потрійний інтеграл |  Обчислення потрійного інтеграла |

криволінійні інтеграли

  1.  II. Обчислити певні інтеграли.
  2.  III. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність.
  3.  Абсолютно збіжні інтеграли другого роду. Теореми про збіжність.
  4.  Абсолютно збіжні інтеграли першого роду. Теореми про збіжність.
  5.  Блок V. Кратні інтеграли
  6.  обчислити інтеграли
  7.  Обчислити певні інтеграли.

Криволінійні інтеграли першого роду.Розглянемо просторову кусочно-гладку криву, обмежену точками А і В (рис. 1), і певну на ній безперервну функцію

f (x, y, z) = f (M), де М (x, y, z) - точка кривої. Дугу АВ розіб'ємо точками  на n елементарних дуг  , Довжини яких позначимо відповідно  , А найменшу з цих довжин -  . На кожній з елементарних дуг  виберемо довільно одну точку  і складемо суму

 , (1)

звану інтегральної сумою для функції f (x, y, z) по довжині дуги кривої АВ.

Криволінійним інтегралом першого роду від функції f (x, y, z) по кривій АВ називається межа інтегральної суми (1) при :

.

На кривій АВ, цілком лежить на площині Оху, Функція f від координати z не залежить, тому за визначенням маємо

.

Якщо підінтегральної функції

 розглядати як лінійну

щільність кривої АВ, то криволінійний

інтеграл першого роду являє собою

масу цієї кривої.

Малюнок 1.

Основні властивості криволінійного інтеграла першого роду:

1) криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму шляху інтегрування: ;

2) ;

3) , ;

4) якщо шлях інтегрування L розбитий на частини  , то .

Криволінійні інтеграли другого роду.Нехай дана дуга просторової кусочно-гладкою кривою, обмежена точками А і В (рис. 1), і певна на ній безперервна вектор функція

 . (2)

Дугу АВ розіб'ємо точками  на n елементарних дуг  . На кожній з елементарних дуг  виберемо довільно одну точку  ; значення функцій , ,  в цій точці помножимо на проекції даної дуги відповідно на осі Ох, Оу, Oz, Які позначимо через  , причому , ,  . З отриманих творів складемо суму

 , (3)

звану інтегральної сумою за координатами для вектор - функції (2). позначимо через  довжину найбільшої з проекцій .

Криволінійним інтегралом другого роду, узятим по кривій L або по шляху АВ, називається межа інтегральної суми (3) при :

.

На кривій L, цілком лежить в площині Оху, Функції P, Q, R не залежить від z, ,  , тому

.

Якщо функції P, Q, R розглядати як проекції деякої змінної сили  на координатні осі, то криволінійний інтеграл другого роду висловлює роботу сили  , Точка докладання якої описує криву L.

Криволінійний інтеграл другого роду залежить від вибору напрямку обходу кривої; якщо змінити напрямок обходу, то інтеграл міняє знак:

.

Криволінійні інтеграли першого і другого роду пов'язані формулою

 , (4)

де  - Кути між відповідними осями координат і напрямком дотичної до лінії АВ, що відповідає напрямку інтегрування для інтеграла в лівій частині рівності (4).

 



 Додатки потрійного інтеграла |  Обчислення криволінійних інтегралів
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати