Головна

ТЕКСТ ЛЕКЦІЇ | Означення . Вектори , що мають протилежні напрями і рівні модулі , називаються протилежними . Вектор , протилежний вектору називається - . | Лінійні операції над векторами та їх властивості . | Зауваження . Різниця - двох векторів і визначається як сума вектора і вектора , протилежного вектору . | Проекція вектора на вісь . | Означення . Вектор називається лінійною комбінацією векторів 1 , 2,... , n , якщо існують такі числа a1 ,a2 ,... ,an , що | Поділ відрізка в даному відношенні | Скалярний добуток двох векторів, його властивості | Властивості скалярного добутку векторів | Векторний добуток двох векторів, його властивості |

Властивості векторного добутку двох векторів .

  1. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
  2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
  3. Векторная схема и вывод векторного уравнения задачи прицеливания
  4. Векторний добуток векторів, заданих координатами
  5. Векторний добуток двох векторів, його властивості
  6. Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.
  7. Віднімання векторів

Алгебраїчні .

1. антикомутативність;

2. - асоціативність відносно скалярного множника a;

3. дистрибутивність відносно додавання векторів .

Зауваження . Перелічені властивості дозволяють перемножати векторні многочлени векторно за правилами алгебри скалярних величин . але при цьому треба строго додержуватися порядку слідування множників .

Геометричні .

4. Векторний добуток двох векторів дорівнює нуль- вектору тоді і тільки тоді , коли ці вектори колінеарні :

||

5. Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма , побудованого на цих векторах , віднесених до спільного початку :

в

О φ д

А

Як приклад , обчислюємо векторні добутки ортів ПДСК :

за властивістю 4;

за власт.1

Векторний добуток в координатні формі .

Нехай вектори і задані координатами в ПДСК:

Знайдемо їх векторний добуток

+

+ = групуємо за ортами =

= = вираз в дужках - визначники другого порядку =

ау аz ах аz aх ау

= bу bz аz bz bх bу

 
 


= за теоремою про розкладання визначника за елементами рядка ,а саме першого рядка =

= ;

Отже , векторний добуток 2-х векторів , заданих координатами в ПДСК , визначається за формулою :

= ;

Координатами вектора в базисі є

ау аz - ах аz aх ау

= bу bz аz bz bх bу

, ,

( алгебраїчні доповнення елементів першого рядка визначника 3- го порядку )

Приклад 1: Знайти площу тр- ка , заданого вершинами А (1; 2; 0 ), В (0 ; -2 ; 1 ) ,

С ( -1 ; 0 ; 2 ). = ( -1 ; -4 ; 1 ) , = ( -2 ; -2 ; 2 )

-

(кв. од)

9. Мішаний добуток векторів та його властивості.

Нехай дано три вектори і Розглянемо добутки цих векторів, утворені за допомогою двох видів добутків скалярного та векторного

Результат першого добутку скаляр . Результат другого вектор, який називається подвійним добутком або векторно- векторним добутком трьох даних векторів. Для знаходження подвійного векторного добутку використовують формули.

Результат третього добутку скаляр, який називається мішаним або векторно-скалярним добутком трьох векторів.

Означення: Мішаним добутком векторів і називається скалярний добуток вектора на вектор .

Властивості мішаного добутку

1. При переставлені будь-яких двох множників мішаний добуток змінить знак на протилежний. Наприклад

2. При циклічному переставлені множників мішаний добуток не змінюється.

3. У мішаному добутку знаки векторного та скалярного добутків можна міняти

місцями

Зауваження: З урахуванням властивості 3 мішаний добуток позначають просто

.

4. Вектори і компланарні тоді і тільки тоді коли їх мішаний добуток дорівнює 0.

і компланарні

Доведення : Якщо вектори і компланарні, то вони лежать або в паралельних площинах, або в одній площині. Вектор , очевидно перпендикулярний до вектора , тому їх скалярний добуток дорівнює 0.

Якщо і компланарні, то і лежить з векторами і в одній площині, тобто вектори і компланарні.

5. Якщо вектори і утворюють праву трійку, то їх мішаний добуток додатній, а якщо ліву, то від'ємний.

6. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює обєму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах віднесених до спільного початку.

 
 


 
 


0

Доведення: Побудуємо на трьох векторах і паралелепіпед. Його об'єм , де S- площа основи, h- висота. Але ,

(+, якщо і утворюють праву трійку , -, якщо ліву)

.

Мішаний добуток в координатні формі

Нехай вектори і задані координатами в ПДСК.

, , .

Знайдемо їх мішаний добуток:

Отже векторний добуток трьох векторів, заданий координатами в ПДСК, визначається за формулою: ;

Приклад: Довести, що точки А(0; 1; 2), В(-2; 0; -1), С(-1; 5; 8), Д(1; 6; 11) лежать в одній площині.

Означення: 4 точки лежать в одній площині, якщо вектори , , компланарні. Знаходимо вектори: =(-2;-1;-3), =(-1;4;6), =(1;5;9).

За властивістю 4, якщо =0, то вектори компланарні. Перевіримо компланарність векторів , і .

= =-72+15-6+12+60-9=0.

Отже, вектори , і компланарні, тому задані точки лежать в одній площині.



Фізичний зміст векторного добутку | Сущность финансовой математики
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати