На головну

завдання

  1.  L Завдання для самоконтролю.
  2.  V. Завдання на рахунок (КА) - оцінка рівня розвитку практіческогоматематіческого мислення. Субтест складається з 20 арифметичних завдань. Час решенетя - 10 хв.
  3.  Питання і завдання для самоперевірки.
  4.  Питання № 9. Завдання на наступне заняття.
  5.  Друге завдання.
  6.  Виконайте таке завдання
  7.  Виконати завдання.

На підставі наведеного словесного опису і представлених математичних співвідношень запропонувати різні гіпотези дії зовнішніх чинників і визначити напрямки уточнення поданої математичної моделі.

Уявити наведену математичну модель у відповідності з основними етапами моделювання.

Отримати залежності результатів рішення задачі від зміни вихідних даних в заданому діапазоні. Дослідити вплив обліку приєднаної маси на результат.

Оформити завдання у вигляді презентації.

Можлива розрахункова схема варіантів

1. Діапазон зміни обсягу човна [м3]: V = 30, ..., 300.

2. Діапазон зміни початкової глибини занурення човна [м]: H = 50, ..., 500.

3. Діапазон зміни швидкості руху човна [м / с]: v = 2, ..., 20.

3. Діапазон зміни середньої щільності наповненою повітрям човни [кг / м3]: ?1 = 0,2, ..., 0,9.

V H  Vcn P1
 30 - 60  50 - 80  2 - 4  0.2 - 0.25
 70 - 100  90 - 120  5 - 7  0.3 - 0.35
 110 - 140  130 - 160  8 - 10  0.4 - 0.35
 150 - 180  170 - 200  11 - 13  0.5 - 0.55
 190 - 220  210 - 240  13 - 15  0.6 - 0.65
 230 - 260  250 - 280  16 - 18  0.7 - 0.75
 270 - 300  290 - 320  19 - 21  0.8 - 0.85
 310 - 340  330 - 360  22 - 24  0.9 - 0.95
 350 - 380  370 - 400  25 - 27  0.9 - 0.95
 390 - 420  410 - 440  28 - 30  0.9 - 0.95
  1. V - З діапазону заданого варіантом

Vcn, P1, H - Фіксоване перше значення із заданого діапазону

Побудувати графік l від H до фіксованого H, Отримати відрізок розкиду ?H в діапазоні V.

  1. Побудувати графік V від H на відрізку ?H для діапазону V.

Приклад аналізу моделі

Завдання про баскетболіста.

Розробити математичну модель, дослідження якої дозволить визначити параметри руху баскетбольного м'яча, кинутого гравцем в баскетбольну корзину.

Вимоги до моделі: модель повинна дозволяти обчислювати положення м'яча в будь-який момент часу, визначати точність попадання м'яча в кошик після кидка при різних початкових параметрах.

Початкові дані: Маса і радіус м'яча, початкові координати, швидкість і кут кидання м'яча, координати центру і радіус кошика.

Рух м'яча може бути описано відповідно до законів механіки Ньютона.

Приймемо гіпотези:

- Об'єкт моделювання - м'яч радіусу R;

- М'яч вважатимемо матеріальною точкою масою m, Положення якої збігається з центром мас м'яча;

- Рух відбувається в поле сил ваги з постійним прискоренням вільного падіння g і описується рівняннями класичної механіки Ньютона;

- Рух м'яча відбувається в одній площині, перпендикулярній поверхні Землі і проходить через точку кидка і центр кошика;

- Нехтуємо опором повітря і збуреннями, викликаними власним обертанням м'яча навколо центру мас.

Відповідно до гіпотезами в якості параметрів руху м'яча приймемо: координати (х и у) І швидкість (її проекції vx и vy центру мас м'яча.

 Тоді для визначення положення м'яча в будь-який момент часу достатньо знайти закон руху центру мас м'яча, тобто залежність координат х, у і проекцій вектора швидкості vx и vy центру м'яча від часу.

В якості оцінки точності кидка D можна розглядати величину відстані по горизонталі (уздовж осі х) Від центру кошика до центру м'яча в момент, коли останній перетинає горизонтальну площину, що проходить через площину кільця кошика.

Визначити закон руху матеріальної точки масою т під дією сили тяжіння, якщо відомі початкові координати точки x0 и у0, Її початкова швидкість v0 і кут кидання a0.

Центр кошика має координати хk и уk.

Обчислити точність кидка D =x(tk) - хk, де tk визначається з умов: tk > 0, vy < 0, y(tk) = уk.

Математичну постановку задачі можна представити як в векторної, так і в координатної формі.

Координатна форма.

знайти залежності x(t), y(t) і vx(t), vy(t) З рішення системи диференціальних рівнянь:

m , vx = ,

m - mg, vy =

при наступних початкових умовах:

x(0) = x0, y(0) = y0,

vx(0) = v0 cos?0, vy(0) = v0 sin?0.

Обчислити параметр D за формулою D = x(tk) - xk, де tk визначити з умов tk > 0, vy(tk) <0, y(tk) = yk.

Як можна бачити з математичної точки зору завдання про баскетболіста звелася до задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з заданими початковими умовами (за заданими в початковий момент змінним визначаються їх значення для будь-якого моменту часу).

Отримана система рівнянь є замкнутої, так як число незалежних рівнянь (чотири диференціальних і два алгебраїчних) дорівнює числу шуканих параметрів завдання (x, y, vx, vy, D, tk).

аналіз гіпотез.

1-я гіпотеза виділяє об'єкт моделювання (м'яч радіусу R).

В даному випадку об'єкт можна вважати простим. Однак в якості об'єкта моделювання можна розглядати систему «гравець - м'яч - кільце». Необхідна для опису подібної системи модель буде вже набагато складніше, тому що гравець в свою чергу представляє складну біомеханічну систему і його моделювання є далеко не тривіальним завданням. У даній ситуації вибір в якості об'єкта моделювання тільки м'яча обгрунтований, оскільки саме його рух потрібно досліджувати, а вплив гравця можна врахувати досить просто через початкові параметри кидка. Для складних систем вибір об'єкта моделювання - далеко не проста і неоднозначна завдання.

2-я гіпотеза (м'яч можна вважати матеріальною точкою масою m, Положення якої збігається з центром мас м'яча) широко застосовується для дослідження рухів тіл в механіці. В даному випадку вона виправдана в силу симетрії форми м'яча і малості його радіуса в порівнянні з характерними відстанями переміщення м'яча. Передбачається, що останній є кулею з однаковою товщиною стінки.

3-тя гіпотеза про можливість застосування в даному випадку законів класичної механіки можна обґрунтувати величезним експериментальним матеріалом, пов'язаним з вивченням руху тіл поблизу поверхні Землі зі швидкостями багато менше швидкості світла. З огляду на, що висота польоту м'яча лежить в межах 5-10 м, а дальність - 5-20 м, припущення про сталість прискорення вільного падіння також представляється обгрунтованим. Якби моделювався рух балістичної ракети при дальності і висоті польоту понад 100 км, то довелося б враховувати зміна прискорення вільного падіння в залежності від висоти і широти місця.

 4-я гіпотеза про рух м'яча в площині, перпендикулярній поверхні Землі, обмежує клас даних траєкторій і значно спрощує модель. Траєкторія м'яча може не лежати в одній площині, якщо при кидку він сильно підкручує навколо вертикальної осі. В цьому випадку швидкості точок поверхні м'яча щодо повітря на різних сторонах м'яча будуть різні. Для точок, що рухаються назустріч потоку, відносна швидкість вище, а для точок протилежного боку, що рухаються по потоку, - нижче швидкості центру мас м'яча. Відповідно до закону Бернуллі, тиск газу на поверхню більше там, де його відносна швидкість менше. Тому для ситуації, зображеної на малюнку, на м'яч буде діяти додаткова сила, спрямована (для даної схеми) зверху вниз. Цей ефект буде проявлятися тим більше, чим більше швидкість центру мас м'яча і швидкість його обертання. Для баскетболу характерні відносно низькі швидкості польоту м'яча (до 10 м / с). При цьому досить рідко використовується підкрутка м'яча рукою. Тому гіпотеза про рух м'яча в одній площині здається виправданою. Її використання дозволяє відмовитися від побудови значно складнішою тривимірної моделі руху м'яча.

5-я гіпотеза про відсутність впливу опору повітря найменш обгрунтована. При русі тіла в газі або рідини сила опору збільшується з ростом швидкості руху. З огляду на невисокі швидкості руху м'яча, його правильну обтічну форму і малі дальності кидків, зазначена гіпотеза може бути прийнята в якості першого наближення.

Закінчена концептуальна постановка дозволяє сформулювати математичну постановку задачі моделювання, що включає сукупність різних математичних співвідношень, що описують поведінку і властивості об'єкта моделювання.

Контроль розмірності задачі:

рівняння динаміки m ?F > [кг]  = [H] > = ,

зв'язок швидкості і переміщення = v > = .

Існування і єдність розв'язку задачі Коші доведена математиками, тому дану математичну модель можна вважати коректною.

Для вирішення завдання можна використовувати як аналітичні, так і чисельні методи.

Проинтегрировав отримані співвідношення за часом, отримаємо

x(t) = C2 + C1t, y(t) = C4 + C3t - gt2/ 2,

vx(t) = С1, vy(t) = С3 - gt.

Константи інтегрування знаходяться з початкових умов. Тоді рішення задачі:

x(t) = x0 + v0 t cosa0, y(t) = y0 + v0 t sina0 - gt2/ 2,

vx(t) = v0 cosa0, vy(t) = v0sina0 - gt.

Приймемо, що в момент кидка м'яч знаходиться на початку координат і на одному рівні з кошиком (тобто x0=y0=yk= 0).

дальність L - Відстань уздовж осі 0х від точки кидка до перетину з горизонтальною площиною, що проходить через кільце кошика.

дальність кидка L = v02 / g sin2a0. Точність кидка D = L - хк.

Перевірка адекватності.

Неадекватність результатів може бути з трьох причин:

- Значення параметрів, що задаються не відповідає допустимої області цих параметрів, яка визначається прийнятою системою гіпотез (наприклад, сили опору повітря можуть бути суттєвими при великих швидкостях руху тіла);

- Константи і параметри можуть бути не точними (прискорення вільного падіння gможе бути уточнено в залежності від широти);

- Невірна вихідна сукупність гіпотез.

Необхідний послідовний аналіз всіх причин і оцінка ступеня адекватності.

Наприклад, відмова від обліку сили опору повітря може бути грубим припущенням (в залежності від того, що вважати задовільною оцінкою точності). Приймемо, що для задовільною оцінкою точності попадання м'яча в кошик розбіжність результатів моделювання і експерименту не повинно перевищувати 1 - 2 см.

Гіпотезу про відсутність сили опору повітря в концептуальній постановці замінимо нової: сила опору повітря прямо пропорційна швидкості м'яча:

Fопору = - копоруv, де копору - Коефіцієнт опору, що залежить від властивостей середовища і форми тіла.

В співвідношення в математичній постановці додаються нові сили опору.

замість співвідношень m , m - mg, Вводяться нові:m - копоруv,

m - mg - копоруv.



 завдання 2 |  Методика проведення експерименту
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати