загрузка...
загрузка...
На головну

 Похідна оберненої функції. |  Похідні елементарних функцій. |  Похідні вищих порядків. |  Диференціали вищих порядків. |  Теорема Ферма. |  Теорема Ролля. |  Теорема Лагранжа. |  Теорема Коші. |  Формула Тейлора. |  Умова монотонності функції. |

опуклість функції

  1.  I. дисфункції бюрократії як організації
  2.  I. Знайти межі функції.
  3.  II Етап. Графічне зображення ряду і емпіричної функції розподілу.
  4.  II. Обчислення похідних ФУНКЦІЇ одного аргументу
  5.  II. Дисфункції бюрократії як соціальної групи
  6.  II. Межа і неперервність функції
  7.  II. Функції герундія в реченні

Визначення 1. Функція f (x) називається опуклою вниз (опуклою) на інтервалі (a; b), якщо для будь-яких x1 і x2з

(A; b), a?x12?b, хорда AB лежить не нижче графіка цієї функції, де A = (x1, F (x1)), B = (x2, F (x2)), Т. Е.

f (x1+ T (x2-x1)) ?f (x1) + T · (f (x2) - f (x1)), t ? [0; 1]. (5.28)

Визначення 2.Функція f (x) називається опуклою вгору (увігнутою) на інтервалі (a; b), якщо для будь-яких x1 і x2з

(A; b), a?x12?b, хорда AB лежить не вище графіка цієї функції, т. Е. Якщо f (x1+ T (x2-x1)) ?f (x1) + t · (f (x2 -f (x1)), T? [0; 1].

Теорема 18. Безперервно диференціюється функція f (x) опукла вниз на (a; b) тоді і тільки тоді, коли для будь-яких x1 і x2 з (a; b) виконано нерівність

f (x2) ?f (x1) + F '(x1) (X2 - x1) (5.29)

Доведення.Необхідність. З (5.28) маємо (f (x1+ T (x2-x1)) - F (x1)) / T?f (x2) -f (X1).

У цьому нерівності перейдемо до межі при t > +0. отримаємо

limt> + 0(F (x1 + T (x2 - x1)) - F (x1)) / T = limt> + 0(F (x1 + T (x2 - x1)) - F (x1)) / T) * (x2 - x1) = F '(x1) (X2 - x1) ?f (x2) - F (x1).

Достатність. Нехай виконуються умови (5.29). Приймемо в ньому x1 = X. Тогдаf (x2) ?f (x) + f '(x) (x2 - X). (5.30)

Замінивши в (5.30) x2 на x1, Будемо іметьf (x1) ?f (x) + f '(x) (x1-x). (5.31)

Помноживши обидві частини нерівності (5.30) на t, а нерівності (5.31) на 1-t і склавши отримані при цьому нерівності,

отримаємо

tf (x2) + (1 - t) f (x1) ?f (x) + f '(x) · (t (x2 - x1) + X1-x).

Звідси при x = x1 + T (x2 - x1) отримаємо

f (tx2 + (1 - t) x1) ?tf (x2) + (1 - t) f (x1), T ? [0; 1], т. Е. (5.28).

Аналогічно доводяться необхідні і достатні умови опуклості вгору на інтервалі безперервно диференціюється f (x).

Складемо рівняння дотичної до графіка безперервно диференціюється f (x) в точці x1: Y = f (x1) + F '(x1) (X-x1).

Тоді права частина нерівності (5.29) є Y (x2) І, отже, f (x2) ?Y (x2). Звідси і з теореми 18 отримуємо:

Слідство 2. Безперервно диференціюється функція f (x) опукла вниз на (a; b) тоді і тільки тоді, коли всеточкі (x, f (x)), x? (a; b), графіка функції f (x) лежать не ніжекасательной проведеної до нього в точці (x1, F (x1)), X1? (a; b).



 Екстремум функції. |  Теорема 19 (достатня умова опуклості).
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати