Головна

 Критерій Коші існування границі числової последоват. |  Існування межі монотонної огран. Послід. |  Підпослідовність. Теорема Больцано-Вейєрштрасса про виділення сходящейсяподпоследовательності |  Межа функції. Еквівалентність опр.по Коші і по Гейне |  Загальні властивості границі функції і арифметичні операції. |  Межа ф-ції і нерівності. |  Односторонні межі. |  Предел.отнош. Синуса. К. аргумент. |  Число е. |  Безперервність ф-ції в точці. |

Огранніченность ф-ціінепрер. На відрізку.

  1.  Опуклість функції на відрізку. Необхідна і достатня умова.
  2.  Достатня умова незростання (неубиванія) функції на відрізку. Умова сталості функції на відрізку.
  3.  Лекція № 17. Деякі межі, пов'язані з показовою і логарифмічною функціями. Точки розриву і їх класифікація. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
  4.  Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.
  5.  Безперервність зворотної функції на відрізку.
  6.  Загальна схема дослідження функції. Екстремуми. Найменше та найбільше значення функції на відрізку.

Визначення 1. Функція f (x) безперервна у всіх точках деякого безлічі X, називається безперервної на етоммножестве. Якщо X = [a; b], то для безперервності функції на X потрібно, щоб f (x) була неперервна в усіх внутренніхточках відрізка, неперервна справа на лівому його кінці, тобто в точці a, і неперервна зліва на правому його кінці, тобто вточке b.

Теорема 4 (Вейєрштрасса).Будь-яка безперервна на відрізку функція обмежена і досягає на ньому своїх верхнейі нижньої граней.

Доведення. Нехай функція f (x)

на відрізку [a; b] і нехай M = M як і будь-яка верхняягрань непорожньої безлічі чисел, може бути або кінцевої, або нескінченної, рівній +  . Покажемо, що M <+  і що існує така точка x0 ? [a; b], що f (x0) = M. Виберемо будь-яку послідовність таких чисел an, N = 1, 2,. . ., Що an = M, an n, N = 1, 2,. . . існує така точка xn? [a; b], що f (xn)> An, N = 1, 2,. . . (2). З іншого боку, оскільки M верхня межа функції f (x), для всіх точок x? [a; b] справедливо нерівність f (x)  M. (3) Послідовність {xn} Обмежена, так як a xn  b, n = 1, 2,. . ., Тому по теоремі Больцано-Вейєрштрасса з неї можна виділити сходящуюся послідовність {xnk}, і нехай xnk= x0. Так як a xnk  b, то a x0  b. З нерівностей (2) і (3) випливає, що anknk )  M, k = 1, 2,. . . (4). З іншого боку, в силу безперервності функції f (x) на відрізку [a; b] вона неперервна в точці x0 цього відрізка і,

отже  f (xnk) = F (x0) .т.е. маємо M = f (x0).

Таким чином, доведено, що верхня межа M функції f (x) збігається зі значенням функції в точці x0 і, отже, кінцева. Тим самим функція f (x) обмежена зверху і її верхня межа досягається в точці x0 ? [a; b].

Аналогічно доводиться, що неперервна на відрізку функція обмежена знизу і досягає на ньому своєї нижньої межі.


 



 Точки розриву функції. |  Проміжні значення безперервних функцій.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати