Головна

Похідні обернених тригонометричних функцій

  1.  V. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ І ПОБУДОВА ЇХ ГРАФИКОВ
  2.  VII Найбільше і найменше значення функцій
  3.  А) Аліфатичні похідні
  4.  А) психологічна структура Б) опис функцій
  5.  АГ при розладах ендокринних функцій гіпоталамо-гіпофізарної системи
  6.  Алгоритми функцій, які виконуються в станціях з програмним керуванням
  7.  Аналіз розвитку психічних функцій

Теорема 10. функція y=arcsinx дифференцируема при будь-якому xI (-1; 1) і справедлива формула:

Доведення: функція y = arcsinx визначена при xI [-1; 1] і область її значень  . Вона монотонно зростає на всій області її визначення, тому має зворотну функцію x = siny. рівняння x = siny можна розглядати як неявне завдання функції y = arcsinx. Знайдемо похідну від обох частин рівняння:

.

Висловимо з отриманого рівності y':

.

але  при .

Тому  , так як .

Отже, отримуємо:

.

Теорема 11. функція y = arcos x дифференцируема при xI (-1; 1) і справедлива формула:

.

Теорема 12. функція y = arctgx дифференцируема при xI (- ?: + ?) і справедлива формула:

.

Теорема 13. функція y = arcсtgx дифференцируема при xI (- ?: + ?) і справедлива формула:

.

Теореми 11, 12, і 13 доводяться аналогічно доведенню теореми 10.

9 питання:

. функція y=f(x) Називається диференційованою в точці xID (f), Якщо вона визначена в деякій околиці точки x і її приріст в цій точці можна представити у вигляді: Dx = A? Dx+ A (Dx) ? Dx, де A=A(x) - Не залежить від Dx; a (Dx) - Нескінченно мала при Dx®0, тобто .

теорема(Зв'язок дифференцируемости з безперервністю функції).

якщо функція y = f(x) Диференційована в точці xID (f), То вона неперервна в цій точці.

Доведення.Так як функція диференційовна в точці x, То її приріст в цій точці можна представити у вигляді:

Dy=A ? Dx+ A (Dx) ? Dx, де A=f '(x) І a (Dx) ®0 при Dx®0.

Знайдемо межа від Dy при Dx®0:

? за визначенням 2 безперервності функції в точці функція y = f(x) Неперервна в т. x.

Зауваження. Зворотне теоремі 2 твердження не завжди вірно.

10 питання:

. функція y=f(x) Називається диференційованою в точці xID (f), Якщо вона визначена в деякій околиці точки x і її приріст в цій точці можна представити у вигляді: Dx = A? Dx+ A (Dx) ? Dx, де A=A(x) - Не залежить від Dx; a (Dx) - Нескінченно мала при Dx®0, тобто .

теорема(зв'язок дифференцируемости з існуванням похідної)

функція y = f(x) Диференційована в точці xID (f) Тоді і тільки тоді, коли вона має в цій точці похідну f '(x). При цьому

f '(x) = A.

 Похідні показовою і статечної функцій |  Доведення.


 Основні властивості нескінченно малих функцій |  Теореми про кінцевих межах |  Перший чудовий межа |  Другий чудовий межа |  Неперервність функції в точці і на проміжку |  Визначення похідної, її геометричний зміст. |  Геометричний зміст похідної |  Правила диференціювання |  Слідства. |  диференціал функції |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати