Головна |
Похідні обернених тригонометричних функційТеорема 10. функція y=arcsinx дифференцируема при будь-якому xI (-1; 1) і справедлива формула: Доведення: функція y = arcsinx визначена при xI [-1; 1] і область її значень . Вона монотонно зростає на всій області її визначення, тому має зворотну функцію x = siny. рівняння x = siny можна розглядати як неявне завдання функції y = arcsinx. Знайдемо похідну від обох частин рівняння: . Висловимо з отриманого рівності y': . але при . Тому , так як . Отже, отримуємо: . Теорема 11. функція y = arcos x дифференцируема при xI (-1; 1) і справедлива формула: . Теорема 12. функція y = arctgx дифференцируема при xI (- ?: + ?) і справедлива формула: . Теорема 13. функція y = arcсtgx дифференцируема при xI (- ?: + ?) і справедлива формула: . Теореми 11, 12, і 13 доводяться аналогічно доведенню теореми 10. 9 питання: . функція y=f(x) Називається диференційованою в точці xID (f), Якщо вона визначена в деякій околиці точки x і її приріст в цій точці можна представити у вигляді: Dx = A? Dx+ A (Dx) ? Dx, де A=A(x) - Не залежить від Dx; a (Dx) - Нескінченно мала при Dx®0, тобто . теорема(Зв'язок дифференцируемости з безперервністю функції). якщо функція y = f(x) Диференційована в точці xID (f), То вона неперервна в цій точці. Доведення.Так як функція диференційовна в точці x, То її приріст в цій точці можна представити у вигляді: Dy=A ? Dx+ A (Dx) ? Dx, де A=f '(x) І a (Dx) ®0 при Dx®0. Знайдемо межа від Dy при Dx®0: ? за визначенням 2 безперервності функції в точці функція y = f(x) Неперервна в т. x. Зауваження. Зворотне теоремі 2 твердження не завжди вірно. 10 питання: . функція y=f(x) Називається диференційованою в точці xID (f), Якщо вона визначена в деякій околиці точки x і її приріст в цій точці можна представити у вигляді: Dx = A? Dx+ A (Dx) ? Dx, де A=A(x) - Не залежить від Dx; a (Dx) - Нескінченно мала при Dx®0, тобто . теорема(зв'язок дифференцируемости з існуванням похідної) функція y = f(x) Диференційована в точці xID (f) Тоді і тільки тоді, коли вона має в цій точці похідну f '(x). При цьому f '(x) = A. Похідні показовою і статечної функцій | Доведення. Основні властивості нескінченно малих функцій | Теореми про кінцевих межах | Перший чудовий межа | Другий чудовий межа | Неперервність функції в точці і на проміжку | Визначення похідної, її геометричний зміст. | Геометричний зміст похідної | Правила диференціювання | Слідства. | диференціал функції | |