На головну

Зв'язок між диференціюється і її безперервністю

  1.  BB.3.1.1 Стійка довжина між суміжними точками бокового розкріплення
  2.  BB.3.1.2 Стійка довжина між розкріплення від крутіння
  3.  BB.3.2.1 Стійка довжина між суміжними точками бокового розкріплення
  4.  BB.3.2.2 Стійка довжина між розкріплення від крутіння
  5.  BRC - міжнародна схема сертифікації в харчовій галузі
  6.  I. дисфункції бюрократії як організації
  7.  I. Знайти межі функції.

Приклад. Довести, що функція y= ¦х¦ недіфференціруемого в точці х= 0.

Рішення. Похідна функції (якщо вона існує) дорівнює

Очевидно, що при х= 0 похідна не існує, так як відношення  , Т. Е. Не має меж при ?х> 0 (ні кінцевого, ні нескінченного). Геометрично це означає відсутність дотичній до кривої в точці х= 0.

Теорема. Якщо функція y = f (x) диференційована в точці х0 ,, то вона в цій точці неперервна.

? Доказ. За умови функція y = f(x) Диференційована в точці х0, т. Е. Існує кінцевий межа

де f '(x0) - Постійна величина, яка не залежить від .

Тоді на підставі теореми про зв'язок нескінченно малих величин з межами функцій можна записати

де ? (?х) є нескінченно малою величиною при  > 0, або

.

при ?х> 0 на підставі властивостей нескінченно малих величин встановлюємо, що ?у> 0 і, отже, за визначенням безперервності функції в точці, робимо висновок, що функція неперервна в струмі х0. ¦

Зворотній теорема, взагалі кажучи, невірна, якщо функція неперервна в цій точці, то вона не обов'язково диференційована в цій точці. Так, функція y= ¦х¦ неперервна в точці х0= 0, бо  але, як було доведено раніше недіфференціруемого в цій точці.

Таким чином, безперервність функції - необхідна, але не достатня умова її дифференцируемости.

зауваження: Похідна неперервної функції не обов'язково безперервна. Якщо функція має безперервну похідну на деякому проміжку Х, То функція називається гладкою на цьому проміжку. Якщо ж похідна функція допускає кінцеве число точок розриву, то така функція на даному проміжку називається кусочно гладкої.

29)

30) 1. Похідна від числа

З '= 0

2. Похідна від кореня

3. Похідна від функції в ступеня

5. Похідна від степеневої функції, показовою функції, від логарифма, від натурального логарифма

6. Похідна від арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса (похідна від arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx)

7. Похідна складної функції (похідна від х в ступені х)

8. Похідна від функції, заданої параметрично

9. похідна від приватного, суми, твори

Таблиця похідних

 елементарні функції  складні функції
 З '= 0  
 (xn) '= Nxn-1  (Un) '= N * un-1 * U '
 (ax) '= Ax * lna  (au) '= Au ln a * u '
 (ex) '= Ex  (eu) '= Eu * U '
 Logax = 1 / (x ln a)  Logau = 1 / (u ln a) * u '
 (Ln x) '= 1 / x  (Ln u) '= 1 / u * u'
 (Sin (x)) '= cos (x)  (Sin (u)) '= cos (u) * u'
 (Cos (x)) '= - sinx  (Cos (u)) '= - sinu * u'
 (Tg (x)) '= 1 / cos2x  (Tg (u)) '= 1 / (cos2u) * u '
 (Ctg (x)) '= - 1 / (sin2x)  (Ctg u) '= - (1 / sin2u) * u '
 (Arctg (x)) '= 1 / (1 + x2)  
 (Arctg (x)) '= - 1 / (1 + x2)  
 (Arcsin (x)) '= 1 / sqrt (1-x2)  
 (Arcos (x)) '= - 1 / sqrt (1-x2)  

31) Теорема про похідну складної функції:

якщо функція  має похідну  в точці  , А функція  має похідну  у відповідній точці  , То складна функція  має похідну  в точці  , Яка знаходиться за формулою .

Доведення:

За умовою . Звідси, по теоремі про зв'язок функції, її межі та нескінченно малої функції, маємо  або  , де  при .

функція  має похідну в точці :  , Тому: , де  при .

Підставивши значення  в рівність  , Отримаємо: ;  . Розділимо отримане рівність на  і перейшовши до межі при  , отримаємо .

приклад:

знайти похідну .

Рішення: .

32) Теорема про похідну оберненої функції:

якщо функція  строго монотонна на інтервалі  і має нерівну нулю похідну  в довільній точці цього інтервалу, то зворотна їй функція  також має похідну  у відповідній точці, яка визначається рівністю  або .

Доведення:

Розглянемо зворотну функцію  . Дамо аргументу приріст  . Йому відповідає приріст  зворотної функції, причому  в силу суворої монотонності функції. Тому можна записати:  . якщо  , То, в силу безперервності зворотного функції,  . І т. К.  , То з  слід рівність:  , Т. Е. .

33) 1) Функція називається диференційованою в цій точці, якщо в цій точці існує її похідна.

2) Визначення 4 (дифференцируемость в точці).Функція f (x) називається диференційованою в точці x, якщо приріст D y цієї функції в точці x представимо у вигляді

D y = AD x +a (D x) D x,  (1)

де A - деяке число, яке залежить від D x, а limD x® 0 a (D x) = 0.

Надалі будемо вважати, що a (0) = 0. У цьому випадку функція a (x) буде безперервною в точці D x = 0. Рівність 1 можна переписати інакше, так як функції a (D x), D x - нескінченно малі в точці D x = 0 і їх твір теж нескінченно мала функція, тому

D y = AD x + o(D x).  (2)

справедлива теорема

Теорема 1.Для того щоб функція була диференційована в точці x, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.

Доведення. Необхідність. Нехай функція диференційована, тоді її приріст представимо у вигляді (1). Поділивши (1) на D x? 0 отримаємо

D y /D x = A +a (D x).

Переходячи до межі в останньому виразі при D x® 0, отримаємо, що A = f '(x).

Достатність. Нехай існує кінцева похідна f '(x), тобто існує кінцевий межа

limD x® 0D y /D x = f '(x).

Позначимо a (D x) = D y / D x-f '(x). Звідси випливає уявлення (1).

Приклад 4. Довести, що функція | x | НЕ дифференцируема в точці x = 0.

Рішення. Знайдемо приріст функції в точці x = 0:

D y = |D x |

Тому

limD x® -0D y /D x = -1, limD x® +0D y /D x = 1,

отже, функція | x | в точці x = 0 перестав дифференцируема.

Наступна теорема висловлює зв'язок між безперервністю і дифференцируемого.

4) Для того, щоб функція f(x) Була диференційована в точці x0 необхідно і достатньо, щоб у неї існувала похідна в цій точці.

При цьому

  ?y = f (x0+ ?x)-f(x0) = f '(x0) ?x + ?(?x) ?x,  

де ?(?x) - Нескінченно мала функція, при ?x> 0.

5) Теорема (про необхідний і достатній умови дифференцируемости функції в точці)

;

(  - Диференційована в точці )

.

Доведення. (  ) За визначенням дифференцируемости функції в точці маємо  ; звідси
 при  отримуємо  . оскільки  , То, застосувавши теорему про межу суми, встановлюємо існування .

Отже, для диференційованою в точці  функції її приріст представимо у вигляді

.

(  ) Якщо існує  , То існує  , Т. Е.  - Нескінченно мала функція при  . Звідси  і тут ,  при  , Т. Е. .

Отримане уявлення для  доводить дифференцируемость функції по визначенню.

34) Диференціалом функції y = f (x) в точці x називається головна частина її збільшення, що дорівнює добутку похідної функції на приріст аргументу, і позначається dy або (df (x)):

dy = f '(x) * dx

(Диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на диференціал незалежної змінної).

Диференціал функції має властивості, аналогічними властивостями похідною.

1. диференціал постійної дорівнює нулю:
 dc = 0, с = const.

2. Диференціал суми, що диференціюютьсядорівнює сумі диференціалів доданків:

d (u + v) = du + dv

Слідство. Якщо дві диференціюються відрізняються постійним доданком, то їх диференціали рівні

d (u + c) = du (c = const).

3. диференціал твори двох диференційовних функцій дорівнює добутку першої функції на диференціал другий плюс добуток другого на диференціал першої:

d (uv) = udv + vdu.

Слідство. Постійний множник можна виносити за знак диференціала

d (cu) = cdu (з = const).

4. диференціал приватного u / v двох диференційовних функцій і = і (х) і v = v (x) визначається формулою

5. Властивість незалежності виду диференціала від вибору незалежної змінної (інваріантність форми диференціала): диференціал функції дорівнює добутку похідної на диференціал аргументу незалежного від того, чи є цей аргумент незалежної змінною чи функцією іншої незалежної змінної.

2)  (С - постійна величина)

Геометричний сенс диференціала:

диференціал функції y = f (x) в точці х дорівнює збільшенню ординати дотичної до графіка функції в цій точці, коли х одержить збільшення ?x.

35) Встановлене в першому параграфі наближена рівність

 (Тут у мене картинка, але вона не відобразилася на сайті))

або

 (14)

дозволяє використовувати диференціал для наближених обчислень значень функції.

Запишемо наближена рівність більш докладно. Так як

а

то

або

 (15)

Приклад 3. Користуючись поняттям диференціала, обчислити наближено ln 1,01.

Рішення. Число ln 1,01 є одним зі значень функції y = ln x . Формула (15) в даному випадку набуде вигляду

покладемо

тоді

отже,

що є дуже хорошим наближенням: табличне значення ln 1,01 = 0,0100.

Приклад 4.Користуючись поняттям диференціала, обчислити наближено

Рішення. число
 є одним із значень функції

Так як похідна цієї функції

то формула (15) набуде вигляду

вважаючи

и

отримуємо

(Табличне значення

 ).

Користуючись наближеним значенням числа, потрібно мати можливість судити про ступінь його точності. З цією метою обчислюють його абсолютну і відносну похибки.

абсолютна похибка  наближеного числа  дорівнює абсолютній величині різниці між точним числом  і його наближеним значенням:

 (16)

відносною похибкою  наближеного числа  називається відношення абсолютної похибки цього числа до абсолютній величині відповідного точного числа:

 (17)

Якщо точне число невідоме, то

 (18)

Іноді, перш ніж застосувати формулу (15), потрібно попередньо перетворити вихідну величину. Як правило, це робиться в двох цілях. По-перше, треба домогтися, щоб величина  була досить малою в порівнянні з  , Тому що чим менше  , Тим, взагалі кажучи, точніше результат наближеного обчислення. По-друге, бажано, щоб величина  обчислювалася просто.

Приклад 5.Користуючись поняттям диференціала, обчислити наближено  . Оцінити точність отриманого результату.

Рішення. Розглянемо функцію

Її похідна дорівнює

а формула (15) набуде вигляду

В даному випадку було б нераціонально обчислювати наближено  наступним чином:

так як значення

не є малим порівняно зі значенням похідної в точці

Тут зручно попередньо винести з під кореня деяке число, наприклад 4/3. тоді

Тепер, вважаючи

отримаємо

Помноживши на 4/3, знаходимо

Беручи табличне значення кореня

за точне число, оцінимо за формулами (16) і (17) абсолютну і відносну похибки наближеного значення:



 Важливою перевагою формули на відміну від графіків, таблиць і статистичних даних є те, що вони допускають проведення різних математичних операцій. |  Похідні і диференціали вищих порядків
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати