На головну

 РЕФЕРАТ |  Біноміальний закон розподілу. |  Закон розподілу Пуассона. |  Гіпергеометричний закон розподілу. |  Розподіл Вейбула. |  Рівномірний закон розподілу |  Розподіл Стьюдента. |  розподіл Фішера |

Нормальний закон розподілу (закон Гаусса).

  1.  Exercise 6. Завершіть пропозиції, вставивши необхідні за змістом слова у відповідній формі (одне слово використовується двічі). Переведіть пропозиції на російську мову.
  2.  H) відноситься до другої половини цього Закону
  3.  I На шляху побудови єдиної теорії поля 6.1. Теорема Нетер і закони збереження
  4.  I. Законодавство та інші нормативно-правові акти
  5.  I. Становлення основ радянського законодавства
  6.  II Етап. Графічне зображення ряду і емпіричної функції розподілу.
  7.  II. Цивільне законодавство періоду громадянської війни та інтервенції

Нормальний розподіл, також зване розподілом Гауса - розподіл ймовірностей, яке в одновимірному випадку задається функцією щільності ймовірності:

*

де параметр ? - математичне очікування, медіана і мода розподілу, а параметр ? - стандартне відхилення (?? - дисперсія) розподілу.

 * Іноді замість символу ? буде використовуватися символ a.

Властивості функції f (x):

1. Областю визначення функції f (x) є вся числова вісь.

2. Функція f {x) може приймати тільки позитивні значення, т. Е. F (x}> 0.

3. Межа функції f (x) при необмеженому зростанні | х | дорівнює нулю, т. е. вісь ОХ є горизонтальною асимптотой графіка функції.

4. Функція f {x) має в точці х = a  максимум, рівний

5 °. Графік функції f (x) симетричний відносно прямої х = а.

6 °. Нормальна крива в точках х = а +s має перегин,

На підставі доведених властивостей побудуємо графік щільності нормального розподілу f (x).

 
   

Як видно з малюнка, нормальна крива має колоколообразную форму. Ця форма є відмінною рисою нормального розподілу. Іноді нормальну криву називають кривою Гаусса.

При зміні параметра а форма нормальної кривої не змінюється. У цьому випадку, якщо математичне сподівання (параметр а) зменшилася або збільшилася, графік нормальної кривої зсувається вліво або вправо.

 
 

При зміні параметра s змінюється форма нормальної кривої. Якщо цей параметр збільшується, то максимальне значення функції f (x) убуває, і навпаки. Так як площа, обмежена кривою розподілу і віссю Ох, повинна бути постійною і рівною 1, то зі збільшенням параметра крива наближається до осі Ох і розтягується вздовж неї, а зі зменшенням s крива стягується до прямої х = а.

 
 

Використання формул f (x) і F (x) для практичних розрахунків важко. Але рішення задач по цих формулах можна спростити, якщо від нормального розподілу з довільними параметрами а и s перейти до нормального розподілу з параметрами а= 0, s = 1.

Функція щільності нормального розподілу f (x) з параметрами а = 0, s = 1 називається щільністю стандартної нормальної випадкової величини і її графік має вигляд:

Функція щільності і інтегральна функція стандартної нормальної випадкової величини матимуть вигляд:

Для обчислення ймовірності потрапляння випадкових величин в інтервал (a, b) скористаємося функцією Лапласа:

Перейдемо до стандартної нормальної випадкової величини

тоді

Приклад.

Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно дорівнюють 30 і 10. Знайти ймовірність того, що Х прийме значення, що належить інтервалу (10, 50).

Рішення:

За умовою: a = 10, b = 50, а= 30, s = 10, отже,

По таблиці знаходимо Ф (2) = 0,4772. Звідси, шукана ймовірність:

Р (10 < Х < 50) = 2 ? 0,4772 = 0,9544.

Обчислення ймовірності заданого відхилення

Часто потрібно обчислити ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х за абсолютною величиною менше заданого позитивного числа d, т. е. потрібно знайти ймовірність здійснення нерівності | x |

Замінимо це нерівність рівносильним йому подвійним нерівністю

Тоді отримаємо:

Прийнявши до уваги рівність:

Імовірність заданого відхилення дорівнює

На малюнку наочно показано, що якщо дві випадкові величини нормально розподілені і а = 0, то ймовірність прийняти значення, що належить інтервалу (-d, d), більше у тій величини, яка має менше значення d. Цей факт повністю відповідає вероятностному змістом параметра s.

Приклад. Випадкова величина Х розподілена нормально. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення Х відповідно рівні 20 і 10. Знайти ймовірність того, що відхилення за абсолютною величиною буде менше трьох.

Рішення: Скористаємося формулою

За умовою ,

тоді

Правило трьох сигм

перетворимо формулу

введемо позначення

Тоді отримаємо:

Якщо t = 3, то

т. е. ймовірність того, що відхилення за абсолютною величиною буде менше потроєного середнього квадратичного відхилення, дорівнює 0,9973.

Іншими словами, ймовірність того, що абсолютна величина відхилення перевищить утроенное середнє квадратичне відхилення, дуже мала, а саме дорівнює 0,0027 = 1-0,9973. Це означає, що лише в 0,27% випадків так може статися. Такі події, виходячи з принципу неможливості малоймовірних подій можна вважати практично неможливими. В цьому і полягає суть правила трьох сигм:

Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевершує потроєного середнього квадратичного відхилення.

На практиці правило трьох сигм застосовують так: якщо розподіл досліджуваної випадкової величини невідомо, але умова, вказане в наведеному правилі, виконується, то є підстави припускати, що вивчається величина розподілена нормально; в іншому випадку вона не розподілена нормально.



 Розподіл безперервних випадкових величин |  Експонентний закон розподілу
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати