Головна

 Основні визначення. |  Теореми про границі |  властивості |  Похідною функцііназивается границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля |  аксіоми |  екстремум |  Конус (формулювання і приклади) |  обсяг конуса |  циліндр |  обсяг призми |

Перпендикулярність прямої і площини

  1.  I. Відображення в площині
  2.  VI. ЛІНІЇ НА ПЛОЩИНІ
  3.  Аналіз прямої заробітної плати
  4.  Аналіз прямої заробітної плати
  5.  Аналітична геометрія на площині
  6.  Аналітична геометрія на площині
  7.  Аналітичне вирівнювання ряду динаміки по прямій

Математика, Алгебра, Геометрія

Пряма а, яка перетинає площину  , Називається перпендикулярної цій площині, якщо вона перпендикулярна будь-якої прямої площині, що проходить через точку Про перетину прямої a і площини .

Теорема. Якщо пряма а перпендикулярна двом прямим b і с, площини  , Що проходить через точку Про перетину а і  , То а перпендикулярна .

Нехай дана пряма a і дві прямі b і с, що лежать в площині  : А _ | _ b, a _ | _ с (рис. 29), О - точка перетину b і с. Нехай х - інша (відмінна від b і с) пряма, що лежить в  і проходить через точку О. Треба довести, що a _ | _ x.

Проводом в площині  довільну пряму l, що перетинає прямі b і с і не проходить через точку О. Позначимо В = l  b, С = l  з і X = l  х. Беремо на а дві точки А1 і А2, Так що OА1 = ОА2 (А1 і А2 - По різні боки від  . Розглянемо утворилися трикутники.

1. А1ОВ = А2ОВ як прямокутні трикутники з охоронними катетами. Значить, А1В = А2В.

2. А1ОС = А2ОС з аналогічної причини. Звідси А1С = А2С.

3. А1СВ = А2СВ за трьома сторонами. Значить, <А1BC = <А2BC.

4. Звернемося до трикутниках А1BX і А2BX. У них А1B = А2B, ВХ - загальна, <А1BX = <А2BX (за першою ознакою). Звідси випливає, що А1X = А2X. Значить, А12 - Рівнобедрений, О - середина А1А2. Значить, ОX - медіана, а тоді і висота, рівнобедреного трикутника. Отже, a _ | _ х.

теорема. Якщо пряма, проведена на площині через підставу похилій, перпендикулярна її проекції, то вона перпендикулярна і самої похилої. І назад, якщо пряма на площині перпендикулярна похилій, то вона перпендикулярна і проекції похилій.

Дана похила МО з проекцією NO і MN _ | _  , Зокрема, MN _ | _ NO (рис. 63).

Дано: PQ _ | _ NO (тобто PQ _ | _ а1).

Треба довести, що PQ _ | _ МО (PQ _ | _ а).

а) Через точку Про проводимо пряму ВІД, перпендикулярну площині  . Тоді ВІД || MN, тому що і MN _ | _  і ВІД _ | _  . Прямі ВІД і ON утворюють площину  , І PQ перпендикулярна цій площині, бо PQ _ | _ ON і PQ _ | _ ВІД. Значить, PQ _ | _ ОМ, т. Е. B _ | _ а, тому що ОM - пряма з площини .

Аналогічно доводиться і зворотна теорема. Якщо b _ | _ а й b _ | _ ВІД, то b _ | _  (Що проходить через ВІД і ОМ), а значить, і проекції а1, Що належить цій площині  . Теорема доведена.



 Ознака перпендикулярності площин |  піраміда
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати