На головну

Правила диференціювання загальних функцій

  1.  CSS - Урок 3. Правила і селектори CSS
  2.  II. У чому відмінність дидактичного правила від дидактичного принципу? Знайдіть правильну відповідь.
  3.  II. Основні правила оформлення посилань і списку використаної літератури
  4.  III. ЗАСТОСУВАННЯ правило Лопіталя
  5.  Quot; ОСНОВНІ САНІТАРНІ ПРАВИЛА ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ РАДІАЦІЙНОЇ
  6.  UML. Концептуальний рівень. Діаграма класів і правила її побудови. Приклад.
  7.  V. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ І ПОБУДОВА ЇХ ГРАФИКОВ

 (Окремий випадок формули Лейбніца)

 - Правило диференціювання складної функції

· Визначення СУВОРО монотонна функція на відрізку

БЕЗПЕРЕРВНА ФУНКЦИЯ

- Одне з основних понять математичного аналізу.

Нехай дійсна функція f визначена на недо-ром підмножині Едействітельних чисел  , Т. Е.  . Функція f зв. безперервної в точці  (Або, докладніше, безперервної в точці  по безлічі Е), якщо для будь-якого числа  існує таке число  , Що для всіх точок  , Що задовольняють умові  виконується нерівність

якщо позначити

и

відповідно и  -окрестності точок и  , То дане визначення можна перефразувати наступним чином: функція f зв. безперервної в точці  якщо для будь-якої  -окрестності  точки  існує така  -окрестность  точки  , що

Використовуючи поняття межі, можна сказати, що функція / неперервна в точці х 0 , якщо в цій точці існує її межа по безлічі Єї ця межа дорівнює :

Це рівнозначно тому, що

де  т. е. нескінченно малому приросту аргументу в точці х 0 відповідає нескінченно малий приріст функції.

У термінах границі послідовності визначення Н. ф. в точці  : Функція fнепреривна в точці  , Якщо для будь-якої послідовності точок

 має місце

Всі наведені визначення Н. ф. в точці еквівалентні між собою.

Якщо функція f неперервна в точці  по безлічі  (Відповідно по безлічі  ), То функція  наз. безперервної справа (зліва) в точці

всі основні елементарні функції є безперервними в усіх точках їх областей визначення. Важливим властивістю Н. ф. є замкнутість класу безперервних функцій щодо арифметич. операцій і операції композиції функцій. Більш точно, якщо дійсні функції  , Безперервні в точці  , То їх сума  і твір  , А при  і приватне  (Свідомо певний в перетині деякої околиці точки х 0 з безліччю Е) неперервні в точціх 0. Якщо, як і вище, функція  неперервна в точці  а функція  така, що  і, отже, має сенс композиція  , Причому існує таке  і функція  неперервна в точціt0, то композиція  також неперервна в точці t0. Таким чином, в цьому випадку

т. е. в цьому сенсі операція граничного переходу перестановки з операцією взяття Н. ф. З перерахованих властивостей Н. ф. випливає, що не тільки основні, але і будь-які елементарні функції неперервні в області їх визначення. Зберігається властивості безперервності і при рівномірному граничному переході: якщо послідовність функцій  рівномірно сходиться на безлічі Єї кожна функція  неперервна в точці  то і гранична функція  неперервна в цій точці.

якщо функція  неперервна в кожній точці безлічі Е, то вона наз. безперервної на безлічі Е. якщо  і функція f неперервна в точці х 0, то звуження функції f на множині Е ' також безперервно при  . (Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Напр., Звуження Діріхле функції як на безлічі раціональних, так і ірраціональних точок безперервно, а сама функція Дирихле розривна в усіх точках.

Важливий клас дійсних Н. ф. одного змінного утворюють функції, безперервні на відрізках. Вони мають такі властивості.

Перша теорема Вейєрштрасса: функція, безперервна на відрізку, обмежена на ньому.

Друга теорема Вейєрштрасса: функція, безперервна на відрізку, приймає на ньому найбільше і найменше значення.

Теорема Коші про проміжні значення: функція, безперервна на відрізку, приймає на ньому будь-яке значення, укладену між значеннями, к-які вона приймає на кінцях відрізка.

Теорема про обернену функцію: якщо функція неперервна і строго монотонна на відрізку, то у неї існує однозначна зворотна функція, к-раю також визначена на недо-ром відрізку, строго монотонна і неперервна на ньому.

Теорема Кантора про рівномірну неперервність: функція, безперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.

Будь-яка функція, безперервна на відрізку, може бути рівномірно як завгодно точно наближена алгебраїч. многочленом, а будь-яка функція f, безперервна на відрізку  і така, що  може бути рівномірно як завгодно точно наближена трігонометріч. полиномами (див. Вейєрштрасса теорема про наближення функцій).

Поняття Н. ф. узагальнюється на більш загальні види функцій, перш за все на функції багатьох змінних. Сформульоване вище визначення Н. ф. формально зберігається, якщо під Епонімать підмножина і-мірного евклідового простору  , під  - Відстань в цьому просторі між точками и  , під -  -окрестность в  точки  а під

розуміти межа послідовності точок в просторі  . функція  , Багатьох змінних  безперервна в точці  наз. також безперервної в цій точці за сукупністю змінних  на відміну від функцій багатьох змінних, безперервних по окремим змінним. функція  наз. безперервної в точці х 0, напр., п про змінну х 1 , якщо в точці  безперервно звуження функції f на множині

т. е. в точці  неперервна функція  одного змінного  . функція  , Може бути безперервною в точці ХПО кожному змінному  але може не бути безперервною в цій точці за сукупністю змінних. Визначення Н. ф. безпосередньо переноситься на комплексно значною функції. Слід лише в даному вище визначення під  розуміти абсолютну величину комплексного числа  , А під

- Межа в комплексній площині.

Всі ці визначення є окремим випадком більш загального поняття Н. ф. f, областю визначення якої є деякий топологічний простір Xі значення якої належать деякому топологічному простору Y (див. безперервне відображення).

На безперервні відображення топологіч. просторів переносяться багато властивостей дійсних Н. ф. одного змінного. Узагальнення згаданих вище теорем Вейерштрасса: безперервний образ бікомпактних топологіч. простору в хаусдорфовим топологіч. просторі є бікомпактом. Узагальнення теореми Коші про проміжні значення безперервної на відрізку функції: безперервний образ в топологіч. просторі зв'язкового топологіч. простору також зв'язний. Узагальнення теореми про функції, оберненої до безперервної строго монотонної функції: взаємно однозначне безперервне відображення бікомпакта на топологіч. хаусдорфово простір є гомеоморфизм. Узагальнення теореми про межі рівномірно збіжної послідовності безперервних функцій: якщо  рівномірне сходиться послідовність безперервних в точці  відображень топологіч. простору Xв метрич. простір Y, то граничне відображення  також безперервно в точці x0.

Узагальненням теореми Вейерштрасса про наближення функцій неперервних на відрізку многочленами є Вейєрштрасса- Стоуна теорема.

· НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ТАБЛИЦЯ інтеграли.

 Визначення первісної та невизначеного інтегралаФункція F(x) називається первообразной функції f(x), Якщо Безліч всіх первісних деякої функції f(x) називається невизначеним інтегралом функціїf(x) І позначається як Таким чином, якщо F - Деяка приватна первісна, то справедливо вираз де С - довільна постоянная.Свойства невизначеного інтегралаВ наведених нижче формулах f и g - Функції змінної x, F - Первісна функції f, а, k, C - Постійні велічіни.? ? ? ? Таблиця інтеграловВ формулах нижче передбачається, що a, p (p ? 1), C - Дійсні постійні, b - Підстава показовою функції (b ? 1, b> 0).
 приклад 1
 
 обчислити .  Рішення.

· ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-Лейбніца.


 ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. базисне рішення |  РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ ЛІНІЇ З кутовим коефіцієнтом |  властивості визначників |  рівняння лінії |  Загальне рівняння прямої лінії на площині |  інтуїтивне опис |  Теоретико-множинне визначення |  Інтегрування по частинах для певного інтеграла |

 нехай функція f (x) Неперервна на замкненому інтервалі [a, b]. Визначений інтеграл від функції f (x) В межах від a до b вводиться як межа суми нескінченно великого числа доданків, кожне з яких прагне до нуля: де Властивості визначеного інтегралаНіже передбачається, що f (x) і g (x) - Безперервні функції на замкнутому інтервалі [a, b] .1. 2.  де k - Константа; 3. 4. 5. Якщо  для всіх  , то  . 6. 7. 8. Якщо  в інтервалі [a, b], То Формула Ньютона-ЛейбніцаПусть функція f (x) Неперервна на замкненому інтервалі [a, b]. якщо F (x) - первісна функції f (x) На [a, b], То Площа криволінійної трапецііПлощадь фігури, обмеженою віссю 0x, Двома вертикальними прямими x = a, x = b і графіком функціїf (x) (Рисунок 1), визначається за формулою
 
 рис.1    рис.2

нехай F (x) і G (x) - Первісні функцій f (x) і g (x), Відповідно. якщо f (x) ? g (x) На замкнутому інтервалі [a, b], То площа області, обмеженої двома кривими y = f (x), y = g (x) І вертикальними лініями x = a, x = b (Рисунок 2), визначається формулою



 Похідні простих функцій |  Заміна змінної в певному інтегралі
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати