На головну

 розподіл частот |  Емпірична функція розподілу |  Полігон і гістограма |  вибіркова дисперсія |  метод моментів |  Метод найбільшої правдоподібності |  Порівняння двох математичних очікувань |  Перевірка гіпотези про розподіл. критерій Пірсона |  Лінійна регресія з не GROUP даними |  Лінійна регресія зі згрупованими даними |

Порівняння вибіркової середньої з математичним очікуванням

  1.  I. Порівняння органічної будови рослин і тварин у зв'язку з будовою людини
  2.  II. Аналіз ситуації з математичною освітою в ліцеї №12
  3.  Авторегресійні інтегровані моделі ковзної середньої
  4.  Авторегресійні моделі ковзної середньої
  5.  Аналіз результатів вибіркової перевірки
  6.  АПВ з очікуванням або контролем синхронізму.
  7.  Аудиторська вибірка та інші процедури вибіркової перевірки

На практиці часто потрібно оцінити, чи відповідають дійсності рекламні дані про параметри того чи іншого товару. В цьому випадку виникає задача порівняння вибіркової середньої з анонсованих значенням цього параметра.

__________

7.2.1. Фірма-постачальник в рекламному буклеті стверджує, що середній термін безвідмовної роботи пропонованого вироби - 2900 год. Для вибірки з 50 виробів середній термін безвідмовної роботи виявився рівним 2720 год при вибірковому середньому квадратичному відхиленні 700 ч. При 5% -му рівні значущості перевірити гіпотезу про тому, що значення 2900 год є математичним очікуванням.

Рішення. Припустимо, що випадкова величина терміну безвідмовної роботи підпорядкована нормальному закону розподілу. Потрібно перевірити гіпотезу про числовому значенні математичного очікування нормально розподіленої величини (генеральної середньої) при невідомої генеральної дисперсії. У цьому випадку в якості критерію вибирають функцію

де  - Вибіркова середня, а0 - математичне очікування, S - Вибіркове середнє квадратичне відхилення. Випадкова величина Т має t-розподілення (розподіл Стьюдента) з l = n - 1 ступенями свободи. У цьому завданню йдеться про порівняння вибіркової середньої 2720 год з гіпотетичним математичним очікуванням  = 2900 год, при цьому вибіркове середнє квадратичне відхилення дорівнює 700 ч.

Потрібно знайти критичну область для нульової гіпотези Н0: а0 = 2900 при альтернативній гіпотезі Н1: а0 <2900. Очевидно, що інші альтернативні гіпотези (а0 > 2900 і а0  2900) недоцільні, тому що споживач зазвичай стурбований лише тим, що термін служби виробу може виявитися менше гарантованого постачальником.

Критична область лівостороння;  знаходимо з умови Р(Т <  ) = .

при  = 0,05 і l = 50 - 1 = 49 в таблиці t-розподіленого (див. Додаток 6), використовуючи лінійну інтерполяцію, знаходимо =  = -1,677. Таким чином, критична область  = (  , -1,677). Розрахуємо tr вважаючи а0 = :

.

Значення - 1,8 потрапляє в критичну область, тому нульова гіпотеза Н0 повинна бути відкинута. Отже, фірма в рекламі завищує термін безвідмовної роботи вироби.

7.2.2. Складено випадкова вибірка з 64 покупців, які цікавилися товаром А. З них товар А купили 16 осіб. Постачальник стверджує, що даний товар повинен залучити третина покупців, а середнє квадратичне відхилення  одно одній людині. Перевірити нульову гіпотезу при 5% -му рівні значущості.

Рішення. Припустимо, що число покупців, які купують товар А, Є випадкова величина, підпорядкована нормальному закону розподілу. Гіпотетична генеральна середня при цьому складе 21 осіб (64 · 1/3). Будемо вважати, що  = 1. Таким чином, мова йде про перевірку гіпотези про числовому значенні математичного очікування нормального розподілу при відомій дисперсії, т. Е. Про порівняння гіпотетичної генеральної середньої 21с вибіркової середньої 16 при відомому середньому квадратичному відхиленні .

Нульова гіпотеза в цьому завданні має вигляд Н0:  = 21, а альтернативна, наприклад, H1: a0  21. Можливі й інші альтернативні гіпотези, наприклад Н1 : а0 <21 або H1: а0 > 21. Рівень значущості заданий:  = 0,05.

Як критерій у цьому випадку розглядається функція

.

функція Z підпорядкована нормальному закону розподілу N(0, 1). Критична область буде двосторонньою, її утворюють інтервали ( ,  ) І ( ,  ), Що визначаються з умов P(Z <  ) =  / 2 і P(Z >  ) =  / 2.

якщо  = 0,05, то  / 2 = 0,025. Це ймовірність попадання випадкової величини Z в лівосторонню або правостороннім області. У цьому випадку ймовірність непотрапляння випадкової величини Z в правобічну критичну область (1 -  / 2) можна представити таким чином:

Р( < Z <  ) = Р( < Z <0) + P(0 < Z <  ) = 1 -  / 2.

Так як Р( < Z <0) = 0,5, а Р(0 < Z <  ) = Ф (  ) - Функція Лапласа в точці  , То ф (  ) = 1 -  / 2 - 0,5 = 0,475. На підставі таблиці значень функції Лапласа (див. Додаток 2) знаходимо  = 1,96. Крапка  розташована симетрично і дорівнює - 1,96. Отже, критична область складається з інтервалів (  ; -1,96) І (1,96;  ). Розрахуємо zr:

.

значення zr потрапляє в критичну область, тому гіпотеза H0: а0 = 21 відкидається.

7.3.3. Фірма - виробник жіночих прикрас, випустивши новий товар, стверджує, що 40% покупців куплять ці прикраси. В ході 10-денної рекламної розпродажі в середньому придбали прикраси 29,5% покупців, вибіркове середнє квадратичне відхилення склало 16,5%. При 5% -му рівні значущості оцінити твердження виробника товару.

Рішення. Перевіримо нульову гіпотезу H0: a0 = 40% і альтернативну H1: а0 <40%. Припустимо, що випадкова величина X - Число покупців - має нормальний закон розподілу. У даній задачі потрібно перевірити гіпотезу про числовому значенні математичного очікування нормального розподілу при невідомій дисперсії. Критерій має вигляд

Для заданого рівня значущості  = 0,05 знайдемо лівосторонню критичну область з урахуванням того, що l= 10 - 1 = 9 ступенів свободи (див. Додаток 6). критична область  є інтервал (  ; -1,833). обчислимо tr:

Число -1,909 потрапляє в критичну область. Таким чином, нульова гіпотеза відкидається.

 



 інтервальні оцінки |  Порівняння двох дисперсій
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати