Головна

Розділ 2. Основні чисельні методи.

  1.  B.1.1 Основні положення
  2.  ER-модель бази даних. Основні нотації зображення ER-моделі.
  3.  I Основні категорії педагогіки
  4.  I. Організаційно-методичний розділ
  5.  I. Основні положення
  6.  I. Основні принципи
  7.  I. ОСНОВНІ СТРАХОВІ ПОНЯТТЯ

Тема 2.1. Чисельне інтегрування.

метод прямокутників

З курсу диференціальної математики відомо, що будь-яка елементарна функція має похідну. Однак, операція інтегрування не завжди здійсненна. Хоча теоретично, інтеграл існує  . але функцію F (x) можна виразити як кінцеву комбінацію елементарних функцій. Такі інтеграли- «неберущімся», вони обчислюються наближено.

Нехай потрібно знайти , f (x)- Безперервна функція на відрізку (А; в)

За геометричному змістом певного інтеграла, він дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком неперервної функції, осями координат і прямими х = а і х = в. Шукану площу розіб'ємо на частини, для цього відрізок (А; в) розділимо на n рівні відрізки  , І розглянемо кожну частину як прямокутник, висловимо його площа. Потім підсумовуємо отримані площі і отримаємо наближене значення площі криволінійної трапеції.

формула прямокутників

Завдання. Обчислити інтеграл метолом прямокутників. Оцінити похибку.

метод трапецій

Знайдемо певний інтеграл, розглянувши кожну складову частину площі криволінійної трапеції як прямокутну трапецію. Висловимо площа кожної трапеції за формулою, відомої з курсу планіметрії, підсумовуємо і отримаємо наближене значення площі криволінійної трапеції, а значить і наближене значення певного інтеграла


Завдання. знайти наближено  за формулою трапеції. Оцінити похибку.

 ...

Тема 2.2. чисельне диференціювання

нехай функція у = f (x) задана таблично, потрібно знайти похідну функції f (x)

У цих випадках вдаються до наближеного диференціювання. Можливо що безпосереднє диференціювання функції виявляється занадто складним і тоді т можна скористатися наближеним дифференцированием

Шукану функцію замінюють полиномом Р (х) (алгебраїчним многочленом), що відповідає певним вимогам, що збігається за значенням в заданих точках х

Наближене відновлення функції за допомогою многочлена називається інтерполяцією функції f.

Поліном, яким замінюють функцію f називають інтерполяційним многочленом, точки хi, I = 0,1,2,3, ..., n (в яких задані значення функції) називаються вузлами інтерполяції.

Нехай задана функція у = f (x) в рівновіддалених точках хi, (i= 0,1,2,3, ...,n) Відрізка [а; в], Тоді функцію f замінюють інтерполяційним поліномами Ньютона

, h = хi+1-xi - крок інтерполяції.

Якщо потрібно обчислити значення похідної в вузлах xi, то х = х0 і тоді q = 0

i= (0,1,2,3, ... n)

Прімр1: За табличними даними знайти аналітичний вираз функції.

x
f (x)  10,4  20,8  24,8  30,4

Складається таблиця кінцевих різниць:

 10,4  5,6  -0,8
 4,8  -0,8
 20,8  -0,8
 24,8  3,2  -0,8  
 2,4    
 30,4      

За формулою интерполяционного многочлена Ньютона отримуємо

Приклад 2. Функція задана таблично, знайти аналітичний вираз її похідної.

x
y

Таблиця кінцевих різниць для заданої функції

   
 
   
     
       

Знайдіть значення похідної в точках x0, x1, x2, x3, x4 ... за формулою (2), h = 1

Складемо таким же чином таблицю кінцевих різниць для функції

   
     

За формулою (1)

Таким чином, шукана похідна

 Розділ 1. Основи математичного аналізу |  Розділ 3. Елементи лінійної алгебри.

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати